Page 40 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Ordenarte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
P

Sin
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comoexpresi´ on (2.11) se puede integrar con respecto a la variable x y cuyo resultado incluir´ a una funci´ on
La
constante g(y) 1 1
2
y = x + ee 2xx + c.c.
y = x +
+
2 2
2y
∂F = F = (e − y cos xy)∂x

2y
Ejemplo 2.22.2
Ejemplo = (e − y cos xy)dx + g(y)
2y
= xe − sen xy + g(y) (2.13)
dy
Resolv dy = sen xsen x
Resolverer
=
dx
dx
Soluci´
Soluci´ on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
Ahora, se requiere encontrar g(y) para determinar por completo la funci´ on F(x, y). Para lograrlo, se
deriva (2.13) con respecto a y. sen
sen xdx − dy =0xdx − dy =0
por
por lo que es de variables separables. Se integra cada t´ erminolo que es de variables separables. Se integra cada t´ ermino
2y
∂F ∂(xe − sen xy + g(y))

=
dy == ∂y
∂y sen dy 0 0
sen xdx −xdx −
2y
′
=2xe − x cos xy + g (y) (2.14)
− cos x − y = ccos x − y = c
−
y
y = − cos x − c= − cos x − c
Obs´ ervese que las ecuaciones (2.12) y (2.14) pueden igualarse porque ambas corresponden a la misma
derivada parcial. Al realizar esta igualaci´ on, reducir t´ erminos e integrando, la funci´ on g(y) que se obtiene
Sin
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como
es la siguiente:
y
y = − cos x + c= − cos x + c
2y
2y
2xe − x cos xy + g (y)= 2xe − x cos xy +2y
′
g (y)= 2y
′
Ejemplo
Ejemplo 2.32.3
g(y)= 2 ydy + c
Resolv
Resolver ydx − (1 + x)dy =0er ydx − (1 + x)dy =0
2
g(y)= y + c (2.15)
Soluci´
Soluci´ on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)
dy dy
dx
dx
Sustituyendo (2.15) en (2.13) e igualando a c, se obtiene la soluci´ on general
=0
− − =0
1+ xx
1+ y y
2y
de xe − sen xy + 2
de donde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembrodonde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembro y = c

dx dy dy
dx
0 0
= =
Para comprobar la soluci´ on as´ ı obtenida, basta − − obtener la diferencial total y observar si se obtiene la
1+ y y
1+ xx
ecuaci´ on diferencial que se ha resuelto. ln(1 + x) − ln y = c+ x) − ln y = c
ln(1
Es d(xe − sen xy + y )=
2
2y
Es posible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora comoposible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora como d(c)
∂ dx ∂ dy dy
dx
2
2
2y
2y
(xe − sen xy + y )+ − − (xe − sen xy + y )= 0
= ln cln c
=
∂x 1+ xx∂y y y
1+
2y
2y
Ademas, (e − y cos A Axy)dx + (2xe − cos xy +2y)dy =0
con B ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on comoB ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on como
con
Ademas, dado que ln A − ln B = lndado que ln A − ln B = ln
B B

1+ xx
1+
ln ln = ln cln c
=
y y
1+
Definici´ on 2.6 Factores de Integraci´ on 1+ xx = cc
=
y y
Una funci´ on que al multiplicar a una ecuaci´ on diferencial originalmente no exacta la convierte en ecua-
1+
1+ xx
y ==
ci´ on diferencial exacta se denomina factor de integraci´ on.
y
c c
DrL. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
40 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ.