Page 41 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenII: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte
Nota
Nota 2.12.1
Nota 2.2
En embargo, la ecuaci´ on resultante
Sin
En una ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya queuna ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya que
(x,
µM
y)dx + µN(x, y)dy =0

A(x)dx + c + + B(y)dy + c = = 0= c
B(y)dy + c 22
0= c 33
A(x)dx + c 11
puede no ser equivalente a la ecuaci´ on original, en el sentido de que cada soluci´ on de una de ellas sea tambi´ en soluci´ on para

la otra. De hecho, es posible que una soluci´ on se pierda o se gana como resultado de esta multiplicaci´ on.
A A(x)dx +(x)dx + B B(y)dy(y)dy = = c 3 c 3 − c 1 − c 2 = c− c 1 − c 2 = c
donde
donde c es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeoc es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeo
Ejemplo 2.13
en en rescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinacionesrescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinaciones
de de constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.
La ecuaci´ on diferencial (x + y + 1)dx +(x − 2xy)dy =0 no es exacta porque
2
2
2
∂M ∂ ∂ ∂N
Cabe se˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo lase˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo la
Cabe = (x + y + 1) ̸= (x − 2xy)=
2
2
2
∂y ∂y ∂x ∂x
integraci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-graci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-
inte
Sin embargo, si se multiplica por el factor de integracion µ(x)= x −2 nos queda como
riable. Por lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculoPor lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculo
riable.
Diferencial y 2 1 2y
Diferencial e Integral.e Integral.
−2
x −2 1+ + dx + 1 − = x (0)
Por x 2 x 2 x
Por otra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidadotra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidad
2
de 1+ y + 1 dx + 1 − 2y =0
de simplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadassimplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadas
son:
son: x 2 x 2 x
la cual es exacta ya que se cumple el criterio que distingue a las ecuaciones diferenciales exactas
ln A + ln B = ln ABA + ln B = ln AB
ln 2
∂ 1+ y + 1 ∂ 2y
A
A
=
ln
B
x
∂y ln A − ln B = lnA − ln B = ln B B ∂x , , 1 − B ̸=0̸=0
x
2
2
x
2y 2y
P
P P ln A = ln Aln A = ln A = P
x 2 x 2
u u = ln e= ln e u u
ln ln uu = = uu
e e
Existe una variedad de factores de integraci´ on, sin embargo, se trataran solo los mas comunes.
ln
ln A = ln B → A = BA = ln B → A = B
Si ss supone que µ(x) es un factor de integraci´ on de la ecuaci´ on diferencial t´ ıpica de primer orden no
exacta M(x, y)dx + N(x, y)dy =0 entonces
Ense
Enseguida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-guida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-
bles. µ(x)M(x, y)dx + µ(x)N(x, y)dy =0
bles.
Ejemplo 2.12.1
Ejemplo
debe ser exacta y en consecuencia debe cumplirse que
Resolverer
Resolv dy dy = = 1+ e1+ e 2x 2x ∂ ∂
dx dx (µ(x)M(x, y)) = (µ(x)N(x, y))
Soluci´ ∂y ∂x
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
∂ ∂ ∂ ∂
µ(x) M(x, y)+ M(x, y) µ(x)= µ(x) N(x, y)+ N(x, y) µ(x)
∂y (1 + e 2x 2x ∂x
(1 + e )dx − dy =0)dx − dy =0 ∂x
∂y
Ahora bien, como ∂ µ(x)=0 y ∂ µ(x)= d µ(x) se puede simplificar para obtener
de ∂y ∂x dx
de manera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtienemanera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtiene
∂ ∂ d

µ(x) M(x, y)= µ(x) N(x, y)+ N(x, y) µ(x)
2x
2x
dy ==
(1 + e ∂y dy 0 0 ∂x dx
(1 + e )dx −)dx −

∂ ∂ d
µ(x) M(x, y) − N 1 1 (x, y) = N(x, y) µ(x)
2x
2x
x + ee
x +
∂y ∂x − − y = cy = c dx
2 2
1 ∂ ∂ dµ(x) 1 1
y = x +
y = x + ee
M(x, y) − N(x, y) dx = 2x 2x − − cc
N(x, y) ∂y ∂x µ(x) 2 2
Dr Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May 41
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´