Page 42 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Ordenarte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Inte
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comogrando cada miembro y resolviendo para la funci´ on µ(x), resulta
Sin

1 ∂ ∂ 1 1 2xx dµ(x)
2
+
y = x + ee (x, y) dx =
y = x + N
M(x, y) − + c.c.
N(x, y) ∂y ∂x 2 2 µ(x)

1 ∂ ∂
M(x, y) − N(x, y) dx = ln µ(x)
N(x, y) ∂y ∂x
Ejemplo
Ejemplo 2.22.2 µ(x)= e N 1 [ ∂M − ∂N ]dx (2.16)
∂y
∂x
dy
Resolverer
Resolv
dx p´ erdida de generalidad, se ha hecho M = M(x, y) y N = N(x, y).
=
donde, sin dy = sen xsen x
dx
Soluci´
Soluci´ on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
Mediante un procedimiento an´ alogo, tambi´ en es posible obtener
sen
sen xdx − dy =0xdx − dy =0 ]dy
µ(y)= e − M 1 [ ∂M − ∂N (2.17)
∂x
∂y
por
por lo que es de variables separables. Se integra cada t´ erminolo que es de variables separables. Se integra cada t´ ermino
como ejercicio queda la obtenci´ on de este ´ ultimo factor de integraci´ on.

N´ otese que los factores de integraci´ on anteriores hacen exacta la ecuaci´ on diferencial de primer orden
0 0
sen
dy
dy ==
sen xdx −xdx −
si ocurre que
− cos x − y = ccos x − y = c
−

1 ∂M ∂N
y = − cos x − c= − cos x − c
− y = f(x) (2.18)
N ∂y ∂x
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como
Sin

1
∂M
∂N
− = f(y) (2.19)
M ∂y ∂x
y = − cos x + c= − cos x + c
y
Ejemplo 2.14
Resolver
Ejemplo 2.32.3+ y + 1)dx + x(x +3y + 2)dy =0
Ejemplo x(x
Soluci´ on: Se observa que la ecuaci´ on no es de variables separables ni homog´ enea. Se comprobar´ a si es
Resolv
Resolver ydx − (1 + x)dy =0er ydx − (1 + x)dy =0
exacta.
Soluci´
Soluci´ on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)
∂M ∂
= [x(x + y + 1)] = x
dx
∂y ∂y dx − − dy dy =0
=0
1+
∂N ∂ 1+ xx y y
[x(x +3y + 2)] = 2x +3y +2
=
de donde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembrodonde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembro
de
∂x
∂x
como no es exacta, se encontrar´ a, si es posible, dy dy
dx un factor de integraci´ on.

dx
− − = = 0 0
1+
1+ xx y y
1 ∂M ∂N 1
=
(x − 2x − 3y − 2)
ln(1
− ln(1 + x) − ln y = c+ x) − ln y = c
N ∂y ∂x x(x +3y + 2)
Es x +3y +2
Es posible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora comoposible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora como
= −
x(x +3y + 2)
dx
dx dy dy
= ln cln c
1 ∂M ∂N − − 1 =
1+
1+ xx −
− = y y
N ∂y ∂x x
con
Ademas, A A con B ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on comoB ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on como
Ademas, dado que ln A − ln B = lndado que ln A − ln B = ln
sustituyendo en (2.16) se obtiene B B

1+ xx
1+
ln ln dx = ln cln c −1
= ln x
µ(x)= e − y y x = e − = e ln x
1+ xx
1+
=
por la propiedad e ln u = u se tiene que, = cc
y y
1
1+
1+ xx
−1
µ(x)= y ===
y x
x c c
42 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ.
DrL. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May