Page 35 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenII: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte

Nota 2.12.1 x − y
Nota y)=
e) f(x, 2
En Si se procede como en el inciso anterior, el t´ ermino x es de grado 2 y el t´ ermino y es de grado 1.
En una ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya queuna ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya que
2
Se concluye entonces que la funci´ on no es homog´ enea, ya que los grados de los dos t´ erminos son

A(x)dx + c + + B(y)dy + c = = 0= c
B(y)dy + c 22
A(x)dx + c 11
0= c 33
distintos.

A A(x)dx +(x)dx + B B(y)dy(y)dy = = c 3 c 3 − c 1 − c 2 = c− c 1 − c 2 = c
donde c es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeoc es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeo
donde
en en rescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinacionesrescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinaciones
de constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante. es posible escribirla de la siguiente forma
de Si f(x, y) es una funci´ on homog´ enea de grado n,

y x
Cabe se˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo lase˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo la
Cabe f(x, y)= x f 1, y f(x, y)= y f , 1
n
n
x y
inte
integraci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-graci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-

riable. Por lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculoPor lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculo
riable.

en donde f 1, y x y f x y , 1 son ambas homog´ eneas de grado cero. A continuaci´ on se muestra un ejem-
Diferencial e Integral.e Integral.
Diferencial
plo para este tipo de factorizaci´ on.
Por otra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidadotra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidad
Por
Ejemplo 2.7
de
de simplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadassimplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadas
2
son:
son:
Verificar si la siguiente funci´ on f(x, y)= x +3xy + y es homog´ enea o no.
2
Soluci´ on: Si se factoriza el t´ ermino de mayor orden de la variable x, se tiene
ln ln A + ln B = ln ABA + ln B = ln AB

y
y 2

A
A
2
1+3
f(x, y)= x
ln ln A − ln B = lnA − ln B = ln , , + B B ̸=0̸=0
B B x x
y
2
= x f 1,
P P ln A = ln Aln A = ln A P P (2.5)
x
u u = ln e= ln e u u
Por lo que la funci´ on es homog´ enea de grado n =2.
ln ln uu = = uu
e e
Si ahora se factoriza el t´ ermino de mayor orden de la variable y, se tiene
ln ln A = ln B → A = BA = ln B → A = B

2
x x
f(x, y)= y 2 +3 +1
Ense y y
Enseguida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-guida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-
bles.
bles. x
2
= y f , 1 (2.6)
Ejemplo y
Ejemplo 2.12.1
Por lo que la funci´ on es homog´ enea de grado n =2.
Resolverer
Resolv dy dy = = 1+ e1+ e 2x 2x
dx dx
Soluci´
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
Definici´ on 2.4 Ecuaci´ on diferencial homog´ enea (Coeficientes homog´ eneos)
(1 + e )dx − dy =0)dx − dy =0
Una ecuaci´ on diferencial de la forma (1 + e 2x 2x
de manera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtienemanera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtiene
de
M(x, y)dx + N(x, y)dy =0 (2.7)

2x
2x
(1 + e
dy ==
(1 + e )dx −)dx − y N son ambas funciones homog´ eneas del mismo grado.
se dice que es homog´ enea si las funciones M dy 0 0
1 1
x + ee es homog´ enea si
En otras palabras, M(x, y)dx + N(x, y)dy 2x 2x − − y = cy = c
x + =0
2 2
1 1 2x 2x
y = x +
− cc
n
y = x + ee n
−
M(tx, ty)= t M(x, y) y N(x, y)= t N(x, y)
2 2
Dr Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ 35
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May andez, Dr. L. de la Cruz May