Page 43 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenII: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte

Nota 2.12.1 el factor integrante a la ecuaci´ on diferencial se obtiene
Nota aplicar
Al
En una ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya queuna ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya que
En 1
[x(x + y + 1)dx + x(x +3y + 2)dy]= 0
x

A(x)dx + c + + B(y)dy + c = = 0= c
(x + y + 1)dx +(x +3y + 2)dy =0
A(x)dx + c 11
0= c 33
B(y)dy + c 22

A(x)dx +(x)dx + +3y +2 de manera que se satisface el criterio de las
A
y ahora M(x, y)= x + y +1 y N(x, y)= x B B(y)dy(y)dy = = c 3 c 3 − c 1 − c 2 = c− c 1 − c 2 = c
ecuaciones diferenciales exactas
donde c es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeoc es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeo
donde
∂N
∂
∂
∂M
en en rescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinacionesrescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinaciones
=
(x + y + 1)=1 =
(x +3y + 2) =
∂y
∂y
de de constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante. ∂x ∂x
Se procede a resolver las ecuaciones
Cabe ∂F
Cabe se˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo lase˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo la
= x + y +1 (2.20)
inte ∂x
integraci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-graci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-
∂F
riable. = x +3y +2 (2.21)
riable. Por lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculoPor lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculo
∂y
Diferencial e Integral.e Integral.
Diferencial
A partir de (2.21), se obtiene
Por otra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidadotra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidad
Por
de ∂F =(x +3y + 2)∂y
de simplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadassimplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadas

son: ∂F = (x +3y + 2)dy + g(x)
son:
3
2
F = xy + y
ln ln A + ln B = ln ABA + ln B = ln AB +2y + g(x) (2.22)
2
A
A
Derivando (2.22) con respecto a ln x ln A − ln B = lnA − ln B = ln , , B B ̸=0̸=0
∂F B B
′
= y +
P P ln A = ln Aln A = ln A P P g (x).
∂x
Sustituyendo esta ´ ultima expresi´ on en (2.20), realizando las operaciones necesarias y la integraci´ on co-
u
u
u
u = ln e= ln e
rrespondiente, resulta ln ln uu
e e = = uu
′
y + g (x)= x + y +1
ln A = ln B → A = BA = ln B → A = B
ln
g (x)= x +1
′
Enseguida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-guida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-
Ense 1
2
g(x)= x + x. (2.23)
bles. 2
bles.
Por ´ ultimo, se sustituye (2.23) en (2.22) e iguala a c para obtener la soluci´ on
Ejemplo 2.12.1
Ejemplo
3 2 1 2
Resolverer
Resolv dy dy = = 1+ e1+ e 2x 2x xy + y +2y + x + x = c
dx dx 2 2
Soluci´
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
(1 + e 2x 2x
(1 + e )dx − dy =0)dx − dy =0
2.5. Ecuaci´ on diferencial lineal de primer orden
de manera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtienemanera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtiene
de

Definici´ on 2.7 Ecuaci´ on lineal de primer orden
(1 + e 2x 2x dy 0 0
dy ==
(1 + e )dx −)dx −
Una ecuaci´ on diferencial de la forma
1 1
x + dy 2x 2x − − y = cy = c
x + ee
a 1 (x) 2 2 + a 0 (x)y = g(x) (2.24)
dx 1 1
y = x + ee
se llama ecuaci´ on diferencial lineal de primer orden. y = x + 2x 2x − − cc
2 2
Dr Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May 43
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´