Page 37 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenII: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte
Nota y = −x ln x + cx
Nota 2.12.1
En una ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya queuna ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya que
En

Ejemplo 2.9 A(x)dx + c + + B(y)dy + c = = 0= c
0= c 33
B(y)dy + c 22
A(x)dx + c 11

A A(x)dx +(x)dx + B B(y)dy(y)dy = = c 3 c 3 − c 1 − c 2 = c− c 1 − c 2 = c
2
2
Resolver (y + yx)dx − x dy =0
Soluci´
donde c es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeoc es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeo se
donde on: La ecuaci´ on no es de variables separables. Puesto que N(x, y) es m´ as simple que M(x, y),
en rescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinacionesrescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinaciones
en utiliza la sustituci´ on y = ux y dy = udx + xdu
de de constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.
2
2 2
2
(u x + ux )dx − x (udx + xdu)=0
2
2
2
Cabe x (u + u)dx − x (udx + xdu)= 0
Cabe se˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo lase˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo la
inte (u + u)dx − (udx + xdu)= 0
integraci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-graci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-
2
riable. (u + u − u)dx − xdu =0
riable. Por lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculoPor lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculo
2
Diferencial e Integral.e Integral.
Diferencial
2
u dx − xdu =0
Por otra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidadotra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidad
Por dx du
de x + u 2 =0
de simplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadassimplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadas
Integrando la expresi´ on de variables separables
son:
son:

dx du
+ = 0
2
u
x
ln ln A + ln B = ln ABA + ln B = ln AB

1 A A
ln x
ln ln A − ln B = lnA − ln B = ln + = , , c B B ̸=0̸=0
u B B
haciendo el cambio de variable u = y/x P P
P
P ln A = ln Aln A = ln A
1
u
u
u = ln e= ln e = c
u ln x +
y
ln ln uu x
=
= uu
e e y ln x + x = cy
ln ln A = ln B → A = BA = ln B → A = B
x
y =
c − ln x
Ense
Enseguida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-guida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-
bles.
bles.
Ejemplo 2.10
Ejemplo 2.12.1
Ejemplo
2
2
2
Resolver y dx +(x + xy + y )dy =0 sujeta a y(0) = 1
Resolverer
Resolv dx dy = = 1+ e1+ e 2x 2x
dy
dx
Soluci´ on: La ecuaci´ on no es de variables separables. Dado que M(x, y) es m´ as simple que N(x, y) se
Soluci´
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
usa ahora la sustituci´ on x = vy, dx = vdy + ydv
2x
2x
2
2
(1 + e )dx − dy =0)dx − dy =0 2
(1 + e 2 2
y (vdy + ydu)+(v y + vy + y )dy =0
2
de manera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtienemanera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtiene
de (vdy + ydu)+(v + v + 1)dy =0
2
vdy + ydv +(v + v + 1)dy =0

dy
(1 + e 2x 2x (v +2v + 1)dy + ydv =0
0 0
dy ==
2
(1 + e )dx −)dx −

1 1 dy dv
x + 2x 2x + (v + 1) 2 = 0
x + ee
− y = cy = c
−
y
2 2
1 1 1
y = x + ee = c
y = x + 2x 2x − − cc
ln y −
v +1 2 2
Dr Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May 37
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´