Page 33 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenII: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte
Nota
Ejemplo
Nota 2.12.1 2.5
En
En una ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya queuna ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya que
Una ecuaci´ on diferencial de la forma dy/dx = f(ax + by + c) ̸=0, puede reducirse siempre a una

+
=
=
ecuaci´ on de variables separables por medio de la sustituci´ on u = ax + by + c. Use este procedimiento
B(y)dy + c
+
A(x)dx + c
0= c
B(y)dy + c 22
A(x)dx + c 11
0= c 33
para resolver la siguiente ecuaci´ on diferencial

A A(x)dx +(x)dx + B B(y)dy(y)dy = = c 3 c 3 − c 1 − c 2 = c− c 1 − c 2 = c
dy
donde c es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeoc es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeo
donde dx =(x + y + 1) 2
en en rescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinacionesrescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinaciones
de constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante. + dy → dy = du − dx. Sustituyendo u y dy en la
de Soluci´ on: Sea u = ax + by + c, entonces du = dx
ecuaci´ on diferencial dada, resulta
Cabe se˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo lase˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo la
Cabe
du − dx 2
integraci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-graci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-
inte dx = u
riable. Por lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculoPor lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculo
riable. du
− 1= u 2
Diferencial e Integral.e Integral.
Diferencial dx
du
2
Por = u +1
Por otra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidadotra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidad
dx
de simplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadassimplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadas
de
La ecuaci´ on puede ahora rescribirse como variables separables
son:
son:
du
dx − =0
ln ln A + ln B = ln ABA + ln B = ln AB
2
u +1

A
A
lnintegrando cada
Enseguida se procede a resolverla ln A − ln B = lnA − ln B = ln uno de sus t´ erminos
, ,
B
B ̸=0̸=0
B B

du
P P ln A = ln Aln A = ln A P P
dx − = 0
u 2 u +1
u u = ln e= ln e u
x − arctan u = c
ln ln uu
e e = = uu
La soluci´ on debe expresarse en sus variables originales previas a la transformaci´ on. Por lo tanto, la
ln ln A = ln B → A = BA = ln B → A = B
soluci´ on queda ahora como
Enseguida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-guida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-
Ense
x − arctan(x + y + 1) = c
bles.
bles.
x + y + 1 = tan(x + c)
Ejemplo
Ejemplo 2.12.1
y = tan(x + c) − x − 1
Resolv dy dy = = 1+ e1+ e 2x 2x
Resolverer
dx dx
Soluci´
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
(1 + e )dx − dy =0)dx − dy =0
(1 + e 2x 2x
2.3. Ecuaciones diferenciales homog´ eneas
de
de manera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtienemanera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtiene
Definici´ on 2.3 Funci´ on homog´
enea

(1 + e
Si una funci´ on tiene la propiedad de que 2x 2x dy 0 0
dy ==
(1 + e )dx −)dx −
1 1
n
x + (tx, 2x 2x − − y = cy = c (2.4)
f
x + eety)= t f(x, y)
2 2
1 1 2x 2x
y = x +
y = x + ee
− cc
para un n´ umero real n, entonces se dice que f es una funci´ on homog´ enea de grado n.
−
2 2
Dr Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May 33
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´