Page 32 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Ordenarte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
P Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Sin y = c(1 + x)
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como
1 1
donde se hizo 1/c = c. y = x + ee 2 2xx + c.c.
y = x +
+
2 2
Ejemplo 2.4
Ejemplo
Ejemplo 2.22.2
Resolver la siguiente ecuaci´ on diferencial
Resolv dy = dx
Resolverer
dy
= sen xsen x
dx
dx = 4(x + 1), x(π/4) = 1
2
Soluci´ dy
Soluci´ on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial puede rescribirse de la forma (2.2) mediante algunas manipulaciones
sen xdx − dy =0xdx − dy =0
sen
algebraicas
por lo que es de variables separables. Se integra cada t´ erminolo que es de variables separables. Se integra cada t´ ermino
por
dx

dy
sen dy == =4dy
0 0
sen xdx −xdx −
2
x +1
− dx − 4dy =0
− cos x − y = ccos x − y = c
2
x +1
y
y = − cos x − c= − cos x − c
Se observa que es una ecuaci´ on diferencial de variables separables y que por lo tanto puede resolverse
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como
Sin
integrando cada uno de sus t´ erminos. Se observa tambi´ en que la primera integral es una forma de una
funci´ on trigonom´ etrica y
y = − cos x + c= − cos x + c

dx
− 4 dy = 0
2
x +1
Ejemplo
Ejemplo 2.32.3 arctan x − 4y = c (2.3)
Resolv
Resolver ydx − (1 + x)dy =0er ydx − (1 + x)dy =0
La expresion (2.3) corresponde a la soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial. Enseguida se determina
Soluci´
Soluci´ on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)
el valor de la constante c para hallar la soluci´ on particular. Con este fin, se procede a evaluar en la soluci´ on
dx
general el punto x(π/4) = 1: dx − − dy dy =0
=0
1+ xx
1+ y y
π

de arctan(1) − 4
de donde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembrodonde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembro = c
4

dx
dx π dy dy
− − − π = = = c 0 0
1+ xx 4 y y
1+
3
ln(1 + x) − ln y = c+ x) − ln y = c
ln(1
c = − π
4
Es
Es posible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora comoposible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora como
Ahora se sustituye el valor encontrado para c en la soluci´ on general

dx
dx dy dy
= ln cln c
− − =
1+
1+ xx y y 3π
arctan x − 4y = − 4
con B ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on comoB ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on como
Ademas, A A con
Ademas, dado que ln A − ln B = lndado que ln A − ln B = ln
B B
La soluci´ on particular expl´ ıcita en x, es
1+ xx
1+
ln ln = ln cln c
=
y y 3π
1+
1+ xx
x = tan 4y −
=
= cc 4
y y
1+
1+ xx
y
y ==
c c
DrL. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
32 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ.