Page 31 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenII: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte
Nota
Sin p´ erdida
Nota 2.12.1de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como
En una ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya queuna ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya que
En
1
y 2x + c.
= x + e

2
A(x)dx + c + + B(y)dy + c = = 0= c
B(y)dy + c 22
0= c 33
A(x)dx + c 11

A A(x)dx +(x)dx + B B(y)dy(y)dy = = c 3 c 3 − c 1 − c 2 = c− c 1 − c 2 = c
Ejemplo 2.2
donde c es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeoc es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeo
donde
en en rescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinacionesrescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinaciones
Resolver
dy
= sen x
dx
de de constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.
Soluci´ on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
Cabe sen xdx − dy =0
Cabe se˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo lase˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo la
integraci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-graci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-
inte
por lo que es de variables separables. Se integra cada t´ ermino
riable. Por lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculoPor lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculo
riable.
Diferencial sen xdx − dy = 0
Diferencial e Integral.e Integral.
Por − cos x − y = c
Por otra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidadotra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidad
de y = − cos x − c
de simplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadassimplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadas
son:
son:
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como
ln ln A + ln B = ln ABA + ln B = ln AB
y = − cos + c
x
A A
ln ln A − ln B = lnA − ln B = ln , , B B ̸=0̸=0
B B
P P ln A = ln Aln A = ln A P P
Ejemplo 2.3
u u = ln e= ln e u u
Resolver ydx − (1 + x)dy =0 ln ln uu
e e = = uu
Soluci´ on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)
ln ln A = ln B → A = BA = ln B → A = B
dx dy
− =0
Enseguida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-guida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-
Ense 1+ x y
de
bles. donde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembro
bles.
dx dy
Ejemplo 2.12.1
Ejemplo − = 0
1+ x y
Resolv dy dy = = 1+ e1+ e 2x 2x ln(1 + x) − ln y = c
Resolverer
dx dx
Soluci´
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
Es posible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora como

dx 2x 2x dy
(1 + e )dx − dy =0)dx − dy =0 ln c
(1 + e − =
1+ x y
de manera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtienemanera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtiene la soluci´ on como
de Ademas, dado que ln A − ln B = ln A con B ̸=0 entonces se puede rescribir
B

1+ x
2x
dy ==
(1 + e 2x ln dy = ln c 0 0
(1 + e )dx −)dx −
y
1 1 1+ x
= c
x + 2x 2x − − y = cy = c
x + ee
2 2 y
1+ x 1 1
y = x +
y = x + ee
y = 2x 2x − − cc
c 2 2
Dr Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ 31
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz Mayandez, Dr. L. de la Cruz May