Page 30 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Ordenarte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
P Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comoNota 2.1
Sin
En una ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya que
1 1
2
y = x +
y = x + ee 2xx + c.c.
2 2 +
+ =
A(x)dx + c 1 B(y)dy + c 2 0= c 3

A(x)dx + B(y)dy = c 3 − c 1 − c 2 = c
Ejemplo 2.22.2
Ejemplo
donde c es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeo
en rescribir dy las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinaciones
dy
Resolv
Resolverer
= sen xsen x
=
dx
dx
de constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.
Soluci´
Soluci´ on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
senecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo la
Cabe se˜ nalar que al resolver este tipo de
sen xdx − dy =0xdx − dy =0
integraci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-
por
por lo que es de variables separables. Se integra cada t´ erminolo que es de variables separables. Se integra cada t´ ermino
riable. Por lo tanto, es recomendable
que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculo
dy ==
Diferencial e Integral. sen dy 0 0
sen xdx −xdx −
Por otra parte, al resolver las integrales
− conviene emplear
− cos x − y = ccos x − y = c propiedades logar´ ıtmicas con la finalidad
de simplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadas
y
y = − cos x − c= − cos x − c
son:
Sin
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como
ln A + ln B = ln AB
y = − cos x + c= − cos x + c
y
A
ln A − ln B = ln , B ̸=0
B
P ln A = ln A P
Ejemplo 2.32.3
Ejemplo
u = ln e u
Resolv ln u
Resolver ydx − (1 + x)dy =0er ydx − (1 + x)dy =0
e = u
Soluci´
Soluci´ on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)
ln A = ln B → A = B
dx dy dy
dx
=0
− − =0
1+
1+ xx
Enseguida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-
y y
de donde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembrodonde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembro
de
bles.
dx dy dy
dx
Ejemplo 2.1 − − = = 0 0
1+ xx
1+ y y
ln(1
Resolver dy = 1+ e 2x ln(1 + x) − ln y = c+ x) − ln y = c
dx
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
Es
Es posible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora comoposible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora como

dx dy dy
dx
(1 + e 2x − − )dx − dy =0
=
= ln cln c
1+ xx y y
1+
con B ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on comoB ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on como
de manera A A con
Ademas, que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtiene
Ademas, dado que ln A − ln B = lndado que ln A − ln B = ln
B B

1+ xx
1+
= ln cln c
ln ln
2x =
(1 + e )dx − dy = 0
y y
1+
1 1+ xx
=
= cc
x + e 2x − y = c
2 y y
1+
1+ xx1
y == = x + e 2x − c
yy
c c 2
DrL. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
30 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ.