Page 29 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenII: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte
Nota 2.12.1
Nota
2.1. Introducci´ on
En
En una ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya queuna ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya que

En esta parte se estudian las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden, sus propiedades se utilizan

A(x)dx + c + + B(y)dy + c = = 0= c
0= c 33
B(y)dy + c 22
A(x)dx + c 11
para poder determinar la naturaleza del m´ etodo de soluci´ on a aplicar en cada caso. La mayor´ ıa de los

B(y)dy(y)dy
=
c 3 − c 1 − c 2 = c− c 1 − c 2 = c
A(x)dx +(x)dx +
A
B
m´ etodos reducen la ecuaci´ on diferencial a una de variables separables, como ocurre con los cambios
= c 3
de variable usados para resolver las ecuaciones diferenciales de coeficientes homog´ eneos y del mismo
donde c es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeoc es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeo
donde
en grado. Tambi´ en, se realiza la prueba correspondiente del teorema que establece la condici´ on necesaria
en rescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinacionesrescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinaciones
de constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante. en cuenta que tienen su origen en la diferencial
de para que una ecuaci´ on diferencial sea exacta tomando
exacta de una funci´ on de dos variables igualada a una constante que resulta ser la soluci´ on a encontrar.
Cabe se˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo lase˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo la
Cabe
As´ ı mismo, se determina la obtenci´ on de factores integrantes que convierten una ecuaci´ on diferencial
inte
integraci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-graci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-
originalmente no exacta en exacta. Se plantea el m´ etodo de soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial lineal de
riable. Por lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculoPor lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculo
riable.
orden uno con el c´ alculo de su factor integrante, el cual se aplica a la ecuaci´ on diferencial lineal de primer
Diferencial e Integral.e Integral.
Diferencial
orden reduci´ endola a una ecuaci´ on diferencial de variables separables.
Por otra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidadotra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidad
Por
Se incluye como aportaci´ on de los autores, un diagrama de flujo que permite al estudiante identificar
de simplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadassimplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadas
de
el tipo de ecuaci´ on diferencial de primer orden a resolver y entonces seleccionar el m´ etodo de soluci´ on
son:
son:
pertinente. Otra aportaci´ on de los autores,incluye el uso de propiedades de los logaritmos para obtener
soluciones compactas y elegantes. Con base en las diversas estrategias de soluci´ on descritas para resolver
ln ln A + ln B = ln ABA + ln B = ln AB
las ecuaciones de primer orden, se propone y aplica un m´ etodo que permite determinar las trayectorias

A
A
, ,
ln
ln A − ln B = lnA − ln B = ln
B
B ̸=0̸=0
ortogonales a una familia de curvas dada; que adem´ as, se ilustran gr´ aficamente para su mejor compren-
B
B
si´ on. P P ln A = ln Aln A = ln A P P
Los apuntes mostrados aqu´ ı fueron tomados de [5], u [3] y [4].
u
u u = ln e= ln e
ln ln uu
e e = = uu
ln A = ln B → A = BA = ln B → A = B separables
2.2. Ecuaciones diferenciales de variables
ln
Definici´ on 2.1 Ecuaci´ on cl´ asica de primer orden
Enseguida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-guida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-
Ense
La
bles. ecuaci´ on cl´ asica y simple de primer orden est´ a dada por
bles.
Ejemplo
Ejemplo 2.12.1
M(x, y)dx + N(x, y)dy =0 (2.1)
dy
Resolv dx dy = = 1+ e1+ e 2x 2x
Resolverer
donde M y N son funciones que dependen de las variables x y y, respectivamente.
dx
Soluci´
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
Definici´ on 2.2 Ecuaci´ on diferencial de variables separables
(1 + e 2x 2x
(1 + e )dx − dy =0)dx − dy =0
Si la ecuaci´ on (2.1) puede rescribirse en la forma
de
de manera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtienemanera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtiene
A(x)dx + B(y)dy =0 (2.2)

dy ==
(1 + e 2x 2x dy 0 0
(1 + e )dx −)dx −
entonces es de variables separables ya que los coeficientes A y B dependen de la misma variable que
1 1
sus respectivas diferenciales. Se resuelve integrando
2x cada uno de sus t´ erminos
2x
x + − − y = cy = c
x + ee
2 2
1 1
y = x + 0=
y = x + ee c
A(x)dx + B(y)dy = 2x 2x − − cc
2 2
Dr Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May 29
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´