Page 22 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferencialesarte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
P
Son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.
Son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.
Familia de circunferencias con centro en el origen
10
Por otro lado, las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias, no lineales de primero, segundo
Por otro lado, las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias, no lineales de primero, segundo
8
y cuarto orden, respectivamente: 6
y cuarto orden, respectivamente:
4
2
1. (1 + y)y +2y = e e x x 0
1. (1 + y)y +2y =
′ ′
El coeficiente del t´ ermino con la derivada y , tiene a la variable dependiente y: (1+y)y ′ ′
El coeficiente del t´ ermino con la derivada y , tiene a la variable dependiente y: (1+y)y
−2
′ ′
−4
2 2
2. 2. d d y y 2 + sen y =0 −6
2 + sen y =0
dx
dx
−8
El segundo t´ ermino es una funci´ on no lineal de la variable dependiente y: sen y y
El segundo t´ ermino es una funci´ on no lineal de la variable dependiente y: sen
−10
−10 −5 0 5 10
4 4
3. 3. d d y y 4 + y =0
2 2
4 + y =0
dx
dx
La derivada de orden cero est´ a elevada a la segunda potencia: on
Figura 1.1: Familia de circunferencias con centro en el origen (soluci´ 2 2
La derivada de orden cero est´ a elevada a la segunda potencia: y y general) [Elaboraci´ on propia].
Otro tipo de soluci´ on para una ecuaci´ on diferencial es la soluci´ on particular que se obtiene directamente
1.2.2. Tipos de soluci´ on para una ecuaci´ on diferencial
1.2.2.
Tipos de soluci´ on para una ecuaci´ on diferencial
de la general al asignar un valor espec´ ıfico a su(s) par´ ametro(s) arbitrario(s). ¡En consecuencia, cada
Uno de los objetivos de este curso es resolver o hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
Uno de los objetivos de este curso es resolver o hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales. ir
una de las curvas graficadas anteriormente constituye una soluci´ on particular ya que se obtuvieron al
asignando valores al par´ ametro c, que en ´ este caso representa el radio de cada circunferencia!. Esto es,
Definici´ on 1.2 Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial
Definici´ on 1.2 Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial Esta se ilustra como un elemento de la familia de
2
si c =5 se tiene la circunferencia x + y = 25.
2
Cuando una funci´ on f, definida en alg´ un intervalo I, se sustituye en una ecuaci´ on diferencial y transforma
circunferencias y se muestra en la figura 1.2
Cuando una funci´ on f, definida en alg´ un intervalo I, se sustituye en una ecuaci´ on diferencial y transforma
esa ecuaci´ on en una identidad, se dice que es una soluci´ on de la ecuaci´ on en el intervalo.
esa ecuaci´ on en una identidad, se dice que es una soluci´ on de la ecuaci´ on en el intervalo.
Circunferencia con radio c=5
5
En otras palabras una soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria, como la ecuaci´ on (1.2), es una
En otras palabras una soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria, como la ecuaci´ on (1.2), es una
4
funci´ on f con al menos n derivadas
funci´ on f con al menos n derivadas y y
3
2
1 (n)(x)
(1.4)
F(x, f(x),f (x),. .., f f (n)(x) )=0, ∀x ∈ I I (1.4)
F(x, f(x),f (x),. ..,
′ ′
)=0, ∀x ∈
0
−1
se dice que y = f(x) satisface la ecuaci´ on diferencial. El intervalo I puede ser intervalo abierto (a, b),
se dice que y = f(x) satisface la ecuaci´ on diferencial. El intervalo I puede ser intervalo abierto (a, b),
−2
cerrado [a, b], infinito (a, ∞), etc. Para fines did´ acticos, tambi´ en se supondr´ a que una soluci´ on f es una
cerrado [a, b], infinito (a, ∞), etc. Para fines did´ acticos, tambi´ en se supondr´ a que una soluci´ on f es una
−3
−4
funci´ on de valores reales.
funci´ on de valores reales.
−5
−5 0 5
Ejemplo 1.1
Ejemplo 1.1
Figura 1.2: Miembro de la familia de circunferencias con centro en el origen y que pasa por el punto
Comprobaci´ on de una soluci´ on.
Comprobaci´ on de una soluci´ on.
(5, 0) con c =5 [Elaboraci´ on propia]
Comprobar que y = x /16 es una soluci´ on de la ecuaci´ on no lineal
Comprobar que y = x /16 es una soluci´ on de la ecuaci´ on no lineal
4 4
dy dy 1 1
= xy
= xy 2 2
dx
dx
Por otro lado, se debe recordar que la soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial que es id´ entica a cero en un
en el intervalo (−∞, ∞).
en el intervalo (−∞, ∞). soluci´ on trivial. ¡N´ otese que la funci´ on constante y =0 satisface la ecuaci´ on
intervalo I, se conoce como
diferencial y − 2y + y =0 y por tanto constituye una soluci´ on trivial!
′
′′
Soluci´ on: Un modo de comprobar que la funci´ on dada es soluci´ on es escribir la ecuaci´ on diferencial
Soluci´ on: Un modo de comprobar que la funci´ on dada es soluci´ on es escribir la ecuaci´ on diferencial
La soluci´ on singular de una ecuaci´ on diferencial es aquella que no puede obtenerse dando valores
1 1
1 1
− xy 2 es cero para toda x en el el
en la forma dy − xy 2 =0, y ver, despu´ es de sustituir, si la suma dy − xy 2 es cero para toda x en
en la formaa los par´ ametros en una familia de soluciones.
espec´ ıficos
dy
− xy 2 =0, y ver, despu´ es de sustituir, si la suma
dy
dx dx
dx
dx
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr
22 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May