Page 24 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones DiferencialesParte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales

Son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.
Son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.
Soluciones de la ED
Por otro lado, las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias, no lineales de primero, segundo
Por otro lado, las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias, no lineales de primero, segundo

y cuarto orden, respectivamente:
y cuarto orden, respectivamente:

y
1. (1 + y)y +2y = e e x x
1. (1 + y)y +2y =
′ ′
El coeficiente del t´ ermino con la derivada y , tiene a la variable dependiente y: (1+y)y ′ ′
El coeficiente del t´ ermino con la derivada y , tiene a la variable dependiente y: (1+y)y
′ ′
2 2
d
2. 2. d y y 2 + sen y =0
2 + sen y =0
dx
dx
El segundo t´ ermino es una funci´ on no lineal de la variable dependiente y: sen
El segundo t´ ermino es una funci´ on no lineal de la variable dependiente y: sen y y
m = y
′
0

4 4
3. 3. d y y 4 + y =0
d
2 2
4 + y =0
dx
dx
La derivada de orden cero est´ a elevada a la segunda potencia: 2 2
La derivada de orden cero est´ a elevada a la segunda potencia: y y

(x 0 ,y 0 )

1.2.2. Tipos de soluci´ on para una ecuaci´ on diferencial

Tipos de soluci´ on para una ecuaci´ on diferencial
1.2.2.
I
x
Uno de los objetivos de este curso es resolver o hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
Uno de los objetivos de este curso es resolver o hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
Figura 1.3: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia]
Definici´ on 1.2 Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial
Definici´ on 1.2 Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial
sujeta a
Cuando una funci´ on f, definida en alg´ un intervalo I, se sustituye en una ecuaci´ on diferencial y transforma
Cuando una funci´ on f, definida en alg´ un intervalo I, se sustituye en una ecuaci´ on diferencial y transforma
(1.8)
(n−1)
n−1
′′
.
′′
(x 0 )= y
y(x 0 )= y 0 ,y (x 0 )= y ,y (x 0 )= y ,. .., y
′
′
0
0
0
esa ecuaci´ on en una identidad, se dice que es una soluci´ on de la ecuaci´ on en el intervalo.
esa ecuaci´ on en una identidad, se dice que es una soluci´ on de la ecuaci´ on en el intervalo.
N´ otese que la ´ ultima condici´ on inicial tiene orden n − 1 y que la ecuaci´ on diferencial es de orden n. Sin
embargo, el n´ umero total de condiciones iniciales es n.
En otras palabras una soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria, como la ecuaci´ on (1.2), es una
En otras palabras una soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria, como la ecuaci´ on (1.2), es una
funci´ on f con al menos n derivadas y y
funci´ on f con al menos n derivadas
1.3.2. Teorema de existencia y unicidad
(1.4)
(n)(x)
(1.4)
(n)(x)
F(x, f(x),f (x),. ..,
F(x, f(x),f (x),. .., f f
)=0, ∀x ∈ I I
′ ′
El siguiente Teorema debido a Picard, da condiciones suficientes para garantizar la existencia de una
)=0, ∀x ∈
soluci´ on y que esta sea ´ unica. Su interpretaci´ on geom´ etrica se muestra en la figura 1.4.
se dice que y = f(x) satisface la ecuaci´ on diferencial. El intervalo I puede ser intervalo abierto (a, b),
se dice que y = f(x) satisface la ecuaci´ on diferencial. El intervalo I puede ser intervalo abierto (a, b),
Teorema 1.1 Sea R una regi´ on en el plano xy definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d que contiene al punto
cerrado [a, b], infinito (a, ∞), etc. Para fines did´ acticos, tambi´ en se supondr´ a que una soluci´ on f es una
cerrado [a, b], infinito (a, ∞), etc. Para fines did´ acticos, tambi´ en se supondr´ a que una soluci´ on f es una
(x 0 ,y 0 ) en su interior. Si f(x, y) y ∂f/∂y son continuas en R, entonces existe un intervalo I con centro
funci´ on de valores reales.
funci´ on de valores reales.
en x 0 y una ´ unica funci´ on y(x) definida en I que satisfacen el problema de valor inicial.
Ejemplo 1.1
Ejemplo 1.1
Ejemplo 1.11
Comprobaci´ on de una soluci´ on.
Comprobaci´ on de una soluci´ on.
2
2
Comprobar que y = x /16 es una soluci´ on de la ecuaci´ on no lineal
Dada la ecuaci´ on diferencial (4 − y )y = x , determine una regi´
Comprobar que y = x /16 es una soluci´ on de la ecuaci´ on no lineal on del plano xy en la cual la ecuaci´ on
4 4
′
diferencial dada tenga una soluci´ on ´ unica por cada punto (x 0 ,y 0 ) de la regi´ on.
dy dy 1 1
= xy forma expl´ ıcita (1.3)
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on diferencial de la
= xy 2 2
dx
dx
x 2
′
en el intervalo (−∞, ∞). y = f(x, y)= 4 − y 2
en el intervalo (−∞, ∞).
Esta expresi´ on es la funci´ on f(x, y). Se obtiene la derivada de esta funci´ on con respecto a la variable y
Soluci´ on: Un modo de comprobar que la funci´ on dada es soluci´ on es escribir la ecuaci´ on diferencial
Soluci´ on: Un modo de comprobar que la funci´ on dada es soluci´ on es escribir la ecuaci´ on diferencial
2
2
∂f
−x (−2y)
2x y
=
=
1 1
1 1
en la forma dy − xy 2 =0, y ver, despu´ es de sustituir, si la suma dy 2 − xy 2 es cero para toda x en
− xy 2 es cero para toda x en el el
− xy 2 =0, y ver, despu´ es de sustituir, si la suma
dy
en la forma
dy
2 2
dx ∂y (4 − y ) [(2 + y)(2 − y)]
dx
dx
dx
24 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May