Page 18 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferencialesarte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
P
Son
Son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.
Son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.
Por otro lado, las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias, no lineales de primero, segundo
Por
Por otro lado, las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias, no lineales de primero, segundootro lado, las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias, no lineales de primero, segundo
y cuarto orden, respectivamente:
y cuarto orden, respectivamente:cuarto orden, respectivamente:
y
1. (1 + y)y +2y
1. (1 + y)y +2y = e e e
1. (1 + y)y +2y = = x x x
′ ′ ′
El ′ ′ ′ ′ ′ ′
El coeficiente del t´ ermino con la derivada y , tiene a la variable dependiente y: (1+y)y
El coeficiente del t´ ermino con la derivada y , tiene a la variable dependiente y: (1+y)ycoeficiente del t´ ermino con la derivada y , tiene a la variable dependiente y: (1+y)y
2 2 2
2. 2. 2. d d d y y y 2 + sen y =0+ sen y =0
2 + sen y =0
dx 2
dx
dx
El segundo t´ ermino es una funci´ on no lineal de la variable dependiente y: sen y y y
El segundo t´ ermino es una funci´ on no lineal de la variable dependiente y: sen
El segundo t´ ermino es una funci´ on no lineal de la variable dependiente y: sen
4 4 4
3. 3. 3. d d d y y y 4 + y =0+ y =0
2 2 2
4 + y =0
dx 4
dx
dx
La derivada de orden cero est´ a elevada a la segunda potencia: 2 2 2
La derivada de orden cero est´ a elevada a la segunda potencia:
La derivada de orden cero est´ a elevada a la segunda potencia: y y y
1.2.2. Tipos de soluci´ on para una ecuaci´ on diferencial
1.2.2.
1.2.2.
Tipos de soluci´ on para una ecuaci´ on diferencialipos de soluci´ on para una ecuaci´ on diferencial
T
Uno
Uno de los objetivos de este curso es resolver o hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
Uno de los objetivos de este curso es resolver o hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales.de los objetivos de este curso es resolver o hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
Definici´ on 1.2 Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial
Definici´
Definici´ on 1.2 Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencialon 1.2 Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial
Cuando una funci´ on f, definida en alg´ un intervalo I, se sustituye en una ecuaci´ on diferencial y transforma
Cuando
Cuando una funci´ on f, definida en alg´ un intervalo I, se sustituye en una ecuaci´ on diferencial y transformauna funci´ on f, definida en alg´ un intervalo I, se sustituye en una ecuaci´ on diferencial y transforma
esa ecuaci´ on en una identidad, se dice que es una soluci´ on de la ecuaci´ on en el intervalo.
esa
esa ecuaci´ on en una identidad, se dice que es una soluci´ on de la ecuaci´ on en el intervalo.ecuaci´ on en una identidad, se dice que es una soluci´ on de la ecuaci´ on en el intervalo.
En otras palabras una soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria, como la ecuaci´ on (1.2), es unaotras palabras una soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria, como la ecuaci´ on (1.2), es una
En otras palabras una soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria, como la ecuaci´ on (1.2), es una
En
funci´ on f con al menos n derivadas
funci´ on f con al menos n derivadas
funci´ on f con al menos n derivadas y y y
(1.4)
(1.4)
(n)(x)n)(x)
(
F(x, f(x),f (x),. .., (n)(x) )=0, ∀x ∈ I I I (1.4)
′ ′ ′
F(x, f(x),f (x),. ..,
F(x, f(x),f (x),. .., f f f
)=0, ∀x
)=0, ∀x ∈ ∈
se dice que y = f(x) satisface la ecuaci´ on diferencial. El intervalo I puede ser intervalo abierto (a, b),
se
se dice que y = f(x) satisface la ecuaci´ on diferencial. El intervalo I puede ser intervalo abierto (a, b),dice que y = f(x) satisface la ecuaci´ on diferencial. El intervalo I puede ser intervalo abierto (a, b),
cerrado [a, b], infinito (a, ∞), etc. Para fines did´ acticos, tambi´ en se supondr´ a que una soluci´ on f es una
cerrado [a, b], infinito (a, ∞), etc. Para fines did´ acticos, tambi´ en se supondr´ a que una soluci´ on f es una[a, b], infinito (a, ∞), etc. Para fines did´ acticos, tambi´ en se supondr´ a que una soluci´ on f es una
cerrado
funci´
funci´ on de valores reales.
funci´ on de valores reales.on de valores reales.
Ejemplo 1.1
Ejemplo 1.1
Ejemplo 1.1
Comprobaci´ on de una soluci´ on.
Comprobaci´ on de una soluci´ on.
Comprobaci´ on de una soluci´ on.
Comprobar que y = x /16 es una soluci´ on de la ecuaci´ on no lineal
Comprobar que y = x /16 es una soluci´ on de la ecuaci´ on no lineal/16 es una soluci´ on de la ecuaci´ on no lineal
4 4 4
Comprobar que y = x
dy dy dy 1 1 1
= xy
= xy
= xy 2 2 2
dx
dx
dx
en el intervalo (−∞, ∞).
en el intervalo (−∞, ∞).el intervalo (−∞, ∞).
en
Soluci´ on: Un modo de comprobar que la funci´ on dada es soluci´ on es escribir la ecuaci´ on diferencial
Soluci´
Soluci´ on: Un modo de comprobar que la funci´ on dada es soluci´ on es escribir la ecuaci´ on diferencialon: Un modo de comprobar que la funci´ on dada es soluci´ on es escribir la ecuaci´ on diferencial
1 1 1
1 1 1
en la forma dy − xy 2 =0, y ver, despu´ es de sustituir, si la suma dy − xy 2 es cero para toda x en el el el
dy
dy
dy
dy
− xy 2 es cero para toda x en en
− xy 2 =0, y ver, despu´ es de sustituir, si la sumaxy 2 =0, y ver, despu´ es de sustituir, si la suma
en la formala forma
en
− xy 2 es cero para toda x
−
dx dx
dx
dx
dx
dx
18 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr