Page 26 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferencialesarte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
P
Son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.Ejemplo 1.12
Son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.
Por otro lado, las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias, no lineales de primero, segundo
Por otro lado, las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias, no lineales de primero, segundo
Determine la ecuaci´ on diferencial de la familia de circunferencias que pasan por (0, −3) y (0, 3), cuyos
y cuarto orden, respectivamente:
y cuarto orden, respectivamente:
centros est´ an en el eje x.
Soluci´ on:
1. (1 + y)y +2y = x x
1. (1 + y)y +2y = e e
′ ′
El coeficiente del t´ ermino con la derivada y , tiene a la variable dependiente y: (1+y)y
′ ′
El coeficiente del t´ ermino con la derivada y , tiene a la variable dependiente y: (1+y)y
Paso a) La ecuaci´ on general de la circunferencia est´ a dada por ′ ′
2 2
2. 2. d d y y 2 + sen y =0 (x − h) +(y − k) = r 2 (1.9)
2 + sen y =0
dx
2
2
dx
El segundo t´ ermino es una funci´ on no lineal de la variable dependiente y: sen y y
El segundo t´ ermino es una funci´ on no lineal de la variable dependiente y: sen
donde d y y el punto (h, k) determina el centro y r el radio. Puesto que sus centros est´ an en el eje x,
4 4
3. 3.
d
2 2
4 + y =0
4 + y =0
dx
dx
entonces k =0 para este caso y consecuentemente, la expresi´ on anterior nos queda ahora como
La derivada de orden cero est´ a elevada a la segunda potencia:
2 2
La derivada de orden cero est´ a elevada a la segunda potencia: y y
2
2
(x − h) + y = r 2 (1.10)
1.2.2. Tipos de soluci´ on para una ecuaci´ on diferencial
Tipos de soluci´ on para una ecuaci´ on diferencial
1.2.2.
Como las circunferencias pasan por los puntos (0, −3) y (0, 3) se tiene que
Uno de los objetivos de este curso es resolver o hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
Uno de los objetivos de este curso es resolver o hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
2
(−h) +9 = r 2
2
h +9 = r
Definici´ on 1.2 Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial 2 (1.11)
Definici´ on 1.2 Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial
Cuando una funci´ on f, definida en alg´ un intervalo I, se sustituye en una ecuaci´ on diferencial y transforma
Cuando una funci´ on f, definida en alg´ un intervalo I, se sustituye en una ecuaci´ on diferencial y transforma
sustituyendo (1.11) en (1.10) se tiene
esa ecuaci´ on en una identidad, se dice que es una soluci´ on de la ecuaci´ on en el intervalo.
esa ecuaci´ on en una identidad, se dice que es una soluci´ on de la ecuaci´ on en el intervalo.
2
2
(x − h) + y 2 = h +9
En otras palabras una soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria, como la ecuaci´ on (1.2), es una
En otras palabras una soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria, como la ecuaci´ on (1.2), es una
2
2
2
x − 2hx + h + y 2 = h +9
funci´ on f con al menos n derivadas y y
funci´ on f con al menos n derivadas
2
x − 2hx + y 2 =9 (1.12)
(1.4)
(n)(x)
F(x, f(x),f (x),. .., (n)(x) )=0, ∀x ∈ I I (1.4)
F(x, f(x),f (x),. .., f f
′ ′
)=0, ∀x ∈
Paso b) Si se hace c = −2h, entonces (1.12) puede rescribirse como
se dice que y = f(x) satisface la ecuaci´ on diferencial. El intervalo I puede ser intervalo abierto (a, b),
se dice que y = f(x) satisface la ecuaci´ on diferencial. El intervalo I puede ser intervalo abierto (a, b),
2
x + cx + y 2 =9 (1.13)
cerrado [a, b], infinito (a, ∞), etc. Para fines did´ acticos, tambi´ en se supondr´ a que una soluci´ on f es una
cerrado [a, b], infinito (a, ∞), etc. Para fines did´ acticos, tambi´ en se supondr´ a que una soluci´ on f es una
funci´ on de valores reales.
funci´ on de valores reales.
y en consecuencia la ecuaci´ on diferencial que corresponde a la familia de circunferencias ser´ a de
primer orden ya que se observa un solo par´ ametro arbitrario.
Ejemplo 1.1
Ejemplo 1.1
Paso c) Derivando la expresi´ on (1.13) se tiene
Comprobaci´ on de una soluci´ on.
Comprobaci´ on de una soluci´ on.
Comprobar que y = x /16 es una soluci´ on de la ecuaci´ on no lineal
Comprobar que y = x /16 es una soluci´ on de la ecuaci´ on no lineal
4 4
2xdx + cdx +2ydy =0
dy dy
(2x + c)dx +2ydy =0 (1.14)
1 1
= xy
dx = xy 2 2
dx
dy
2y = −(2x + c) (1.15)
en el intervalo (−∞, ∞). dx
en el intervalo (−∞, ∞).
Paso d) Al despejar c de (1.15) se obtiene
Soluci´ on: Un modo de comprobar que la funci´ on dada es soluci´ on es escribir la ecuaci´ on diferencial
Soluci´ on: Un modo de comprobar que la funci´ on dada es soluci´ on es escribir la ecuaci´ on diferencial
2
2
9 − x − y
1 1
1 1
(1.16)
en la forma dy − xy 2 =0, y ver, despu´ es de sustituir, si la suma dy − xy 2 es cero para toda x en el el
− xy 2 es cero para toda x en
− xy 2 =0, y ver, despu´ es de sustituir, si la suma
dy
en la forma
c =
dy
dx x dx
dx
dx
Dr
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
26 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May