Page 21 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
P
Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferencialesarte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
intervalo.
intervalo.En ciertas circunstancias cuando se suman dos soluciones de una ecuaci´ on diferencial, se obtiene otra
soluci´ on de dicha ED.
dy dy 1 1
− xy 2 =0
Ejemplo 1.6 dx dx − xy 2 =0
1 1
4 4
4 4
dd xx xx 2 2
− x − x =0
=0
16 16
16 16
dx dx
a) Las funciones y = c 1 cos 4x y y = c 2 sen 4x, donde c 1 y c 2 son constantes arbitrarias, resultan ser
4 4
soluciones de la ecuaci´ on diferencial x 2 x 2
44
3 3
x
x − x − x √ √ =0
=0
16 16 y + 16y
16 16 =0.
′′
3 3
xx
xx
Para y = c 1 cos 4x, las derivadas primera y segunda 3 3 =0 ′′
− − son y = −4c 1 sen 4x y y = −16c 1 cos 4x.
′
=0
44 44
respectivamente. Por lo tanto,
Para todo n´ umero real. Obs´ ervese que
= x /4 es, por definici´ on, la ra´ ız cuadrada no negativa
1/2 1/2
2 2
Para todo n´ umero real. Obs´ ervese que y y = x /4 es, por definici´ on, la ra´ ız cuadrada no negativa de de
y + 16y =(−16c 1 cos 4x)+16c 1 cos 4x =0
′′
′
x /16.
4 4
x /16.
An´ alogamente para y = c 2 sen 4x, las derivadas primera y segunda son y =4c 2 cos 4x y y =
′′
′
−16c 2 sen 4x. respectivamente. Por lo tanto,
Ejemplo 1.2 1.2
Ejemplo
y + 16y =(−16c 2 sen 4x)+16c 2 sen 4x =0
′′
′
La funci´ on y = xe es una soluci´ on de la ecuaci´ on lineal
x x
La funci´ on y = xe es una soluci´ on de la ecuaci´ on lineal
′′ ′′(suma de las soluciones) y = c 1 cos 4x + c 2 sen 4x es una
b) Tambien puede demostrarse que la funci´ on
y − 2y + y
′ ′
y − 2y + y =0 =0
soluci´ on de la ecuaci´ on dada y + 16y =0.
′′
en el intervalo (−∞, ∞).).
en el intervalo (−∞, ∞
Soluci´ on: Para demostrarlo, se sustituyen las respectivas derivadas de la funci´ on dada
Soluci´ on: Para demostrarlo, se sustituyen las respectivas derivadas de la funci´ on dada
Ejemplo 1.7
x x
x x
x x
x x
′ ′
y = xe + e + e y = xe +2e −x x −x
′′ ′′
y = xe +2e
x
x
y = xe −x
Demostrar que las funciones y = e , y = e , y = c 1 e , y = c 2 e y y = c 1 e + c 2 e son todas
soluciones de la ecuaci´ on diferencial lineal de segundo orden y + y =0.
′′
lo que devuelve
lo que devuelve
Soluci´ on: N´ otese que y = c 1 e es una soluci´ on para cualquier valor de c 1 , pero que y = e + c 1 , c 1 ̸=0,
x
x
no satisface la ecuaci´ on puesto que para esta ´ ultima familia de ′ ′ funciones se tendr´ ıa y − y = −c 1 .
′′
y − 2y + y
y − 2y + y ==
′′ ′′
x x
x x
x x
x x
x x
(xe +2e ) − 2(xe + e )+(xe )= 00
(xe +2e ) − 2(xe + e )+(xe )=
Si al resolver una ecuaci´ on diferencial lineal se obtiene una familia n-param´ etrica de soluciones, se
x x
x x
x x
x x
x x
xe +2e − 2xe − 2e + xe xe
=0
xe +2e − 2xe − 2e +
=0
dice que es una soluci´ on general, soluci´ on completa o soluci´ on primitiva.
0=
0= 0.0.
Cabe senalar que la cantidad de par´ ametros en este tipo de soluci´ on es id´ entica al orden de la ecuaci´ on
diferencial y geom´ etricamente representa una familia de curvas cuyas gr´ aficas se obtienen al ir asignando
para todo n´ umero real.
para todo n´ umero real.
valores apropiados a dichos par´ ametros.
Ejemplo 1.8
Nota 1.1 1.1
Nota
No toda ecuaci´ on diferencial tiene necesariamente una soluci´ on, como se muestra en el siguiente ejemplo.
No toda ecuaci´ on diferencial tiene necesariamente una soluci´ on, como se muestra en el siguiente ejemplo.
La ecuaci´ on diferencial xdx + ydy =0 tiene la soluci´ on general x + y = c , la cual corresponde a
2
2
2
una familia de circunferencias con centro en el origen. N´ otese que como la ecuaci´ on diferencial es de
Ejemplo
Ejemplo 1.3 1.3
orden uno entonces existe un solo par´ ametro arbitrario en dicha soluci´ on. La familia de circunferencias
que corresponde a la soluci´ on general se muestra en la figura 1.1.
−3x
Comprobar que la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial y +5y +6y =0, esta dada por y =
−2x
Comprobar que la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial y +5y +6y =0, esta dada por y = c 1 e c 1 e −2x +c −3x . .
+c 2 e 2 e
′′ ′′
′ ′
Soluci´ on: De nuevo, se sustituyen las derivadas de la soluci´ on en la ecuaci´ on diferencial dada: y ==
Soluci´ on: De nuevo, se sustituyen las derivadas de la soluci´ on en la ecuaci´ on diferencial dada: y
′ ′
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 21