Page 23 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones DiferencialesParte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales

intervalo.
intervalo.
Ejemplo 1.9 dy dy 1 1
− xy 2 =0
− xy 2 =0
dx dx
1 1
Una familia uniparam´ etrica de soluciones (soluci´ on general) ′ 1/2 est´ a
2 2 de la ecuaci´ on diferencial y = xy

4 4
4 4
xx
dd
xx
=0
− x − x
=0
2
2
dada por y =(x /4+ c) . Cuando c =0 resulta la soluci´ on particular y = x /16. En este caso, la
4
16 16
dx dx
16 16

soluci´ on trivial y =0 es una soluci´ on singular de la ecuaci´ on ya que no puede obtenerse de la familia
4 4
44 3 3 x 2 x 2
=0
x − x − x
para ning´ un valor del par´ ametro c. 16 16 x √ √ =0
16 16
3 3
3 3
xx xx
=0
=0
Las soluciones de una ecuaci´ on diferencial tambi´ en pueden distinguirse como expl´ ıcitas e impl´ ıcitas.
− −
44
44
La primera, es aquella que puede ser escrita en la forma y = f(x) en tanto que la segunda corresponde a
= x /4 es, por definici´ on, la ra´ ız cuadrada no negativa
Para todo n´ umero real. Obs´ ervese que
2 2
1/2 1/2
Para todo n´ umero real. Obs´ ervese que y y = x /4 es, por definici´ on, la ra´ ız cuadrada no negativa de de
una relaci´ on de la forma G(x, y) =0.
x /16.
x /16.
4 4
Ejemplo 1.10
2
2
4
La funci´ on y = x /16 es una soluci´ on expl´ ıcita de y = xy 1/2 en tanto que la soluci´ on x + y − 16 = 0
Ejemplo
Ejemplo 1.2 1.2
′
es una soluci´ on impl´ ıcita de xdx + ydy =0.
La funci´ on y = xe es una soluci´ on de la ecuaci´ on lineal
La funci´ on y = xe es una soluci´ on de la ecuaci´ on lineal
x x
y − 2y + y =0 =0
′′ ′′
′ ′
y − 2y + y
1.3. Problema de valor inicial y Teorema de existencia y unicidad
en el intervalo (−∞, ∞).).
en el intervalo (−∞, ∞
1.3.1.
Interpretaci´ on geom´ etrica del problema de valor inicial
Soluci´ on: Para demostrarlo, se sustituyen las respectivas derivadas de la funci´ on dada
Soluci´ on: Para demostrarlo, se sustituyen las respectivas derivadas de la funci´ on dada
A menudo existe el inter´ es por resolver x x una ecuaci´ on diferencial (ED) de primer orden
x x
x x
x x
′ ′
′′ ′′
y = xe + e + e y = xe +2e
y = xe +2e
y = xe
dy
lo que devuelve
lo que devuelve dx = f(x, y)
sujeta a la condici´ on adicional y(x 0 )= y 0 , donde x 0 es un n´ umero en un intervalo I y y 0 es un n´ umero
y − 2y + y ==
y − 2y + y
′′ ′′
′ ′
real arbitrario.
x x
x x
x x
x x
x x
(xe +2e ) − 2(xe + e )+(xe )=
El problema de resolver (xe +2e ) − 2(xe + e )+(xe )= 00
x x dy
x x
x x
x x
x x
xe +2e − 2xe − 2e + xe xe =0 (1.5)
xe +2e − 2xe − 2e +
=0
= f(x, y)
dx
0=
sujeta a 0= 0.0.
(1.6)
y(x 0 )= y 0
para todo n´ umero real.
para todo n´ umero real.
se llama problema de valor inicial. A la expresi´ on (1.6) se le conoce como condici´ on inicial.
Hablando
Nota 1.1 1.1 en t´ erminos geom´ etricos, podr´ ıa decirse que estamos se busca al menos una soluci´ on de la
Nota
ecuaci´ on diferencial definida en un intervalo I, tal que la gr´ afica de dicha soluci´ on pase por
No toda ecuaci´ on diferencial tiene necesariamente una soluci´ on, como se muestra en el siguiente ejemplo. el punto dado
No toda ecuaci´ on diferencial tiene necesariamente una soluci´ on, como se muestra en el siguiente ejemplo.
(x 0 ,y 0 ). Esta interpretaci´ on puede observarse en la figura 1.3.
De manera similar a lo anteriormente planteado un problema de valor inicial para una ecuaci´ on dife-
Ejemplo
Ejemplo 1.3 1.3
rencial de orden n, es resolver
−3x
+c 2 e 2 e
Comprobar que la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial y +5y +6y =0, esta dada por y = c 1 e c 1 e −2x +c −3x . .
−2x
Comprobar que la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial y +5y +6y =0, esta dada por y =
′′ ′′
′ ′
n−1
n
dy
y
d
d y
Soluci´ on: De nuevo, se sustituyen las derivadas de la soluci´ on en la ecuaci´ on diferencial dada: y (1.7)
+ · ·· + a 1 (x)
+ a n−1 (x)
a n (x)
+ a 0 (x)y = g(x)
Soluci´ on: De nuevo, se sustituyen las derivadas de la soluci´ on en la ecuaci´ on diferencial dada: y ==
′ ′
dx n dx n−1 dx
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 23