Page 17 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones DiferencialesParte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales

intervalo.son ecuaciones de derivadas parciales.
intervalo.
dy dy 1 1
− xy 2 =0
Clasificaci´ on segun el orden dx dx − xy 2 =0
1 1
4 4
4 4
dd xx xx 2 2
− x − x o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor
El orden de una ecuaci´ on diferencial (ordinaria =0
=0
dx dx 16 16 16 16
orden en la ecuaci´ on. Por ejemplo, 4 4
44 3 3 x 2 x 2
x − x − x
=0
2
dy
d y 16 16 x √ √ =0 x
16 16
dx 2 +5 dx −4y = e
3 3
3 3
xx xx
=0
segundo orden primer − − orden =0
44 44
es una ecuaci´ on diferencial de segundo orden. Como la ecuaci´ on (y −x)dx+4xdy =0 se puede escribir
= x /4 es, por definici´ on, la ra´ ız cuadrada no negativa
Para todo n´ umero real. Obs´ ervese que
2 2
1/2 1/2
Para todo n´ umero real. Obs´ ervese que y y = x /4 es, por definici´ on, la ra´ ız cuadrada no negativa de de
de la forma
x /16.
x /16. dy
4 4
4x + y = x
dx
si se divide entre la diferencial dx, es un ejemplo de una ecuaci´ on diferencial ordinaria de primer orden.
Ejemplo 1.2 1.2
Ejemplo
Una ecuaci´ on diferencial ordinaria general de orden n se acostumbra representar mediante los s´ ımbolos
La funci´ on y = xe es una soluci´ on de la ecuaci´ on lineal
x x
La funci´ on y = xe es una soluci´ on de la ecuaci´ on lineal
F(x, y, y ,. .., y (n−1) ) =0 (1.2)
′
′ ′
y − 2y + y
y − 2y + y =0 =0
′′ ′′
En las explicaciones y demostraciones siguientes se supondr´ a que se puede despejar la derivada de orden
m´ aximo, y (n) , de una ecuaci´ on diferencial de orden n, como la ecuaci´ on (1.2); esto es:
en el intervalo (−∞, ∞).).
en el intervalo (−∞, ∞
Soluci´ on: Para demostrarlo, se sustituyen las respectivas derivadas de la funci´ on dada
Soluci´ on: Para demostrarlo, se sustituyen las respectivas derivadas de la funci´ on dada (1.3)
(n)
(n−1)
y
′
)
= f(x, y, y ,. .., y
x x
x x
′′ ′′
y = xe +2e
′ ′
y = xe + e + e
y = xe +2e
y = xe
Clasificaci´ on seg´ un la linealidad o no linealidad x x x x
lo que devuelve
Se dice que
lo que devuelve una ecuaci´ on diferencial de la forma y (n) = f(x, y, y ,. .., y (n−1 ) es lineal cuando f es
′
una funci´ on lineal de y, y ,. .., y (n−1) . Esto significa que una ecuaci´ on es lineal si se puede escribir en la
′
y − 2y + y
′′ ′′
′ ′
forma y − 2y + y ==
n
d y x x x x d n−1 y x x x x dy
x x
(xe +2e ) − 2(xe + e )+(xe )=
+ a n−1 (x)
+ · ·· + a 1 (x)
a n (x) (xe +2e ) − 2(xe + e )+(xe )= 00
+ a 0 (x)y = g(x)
dx n x x dx x x x x x x dx x x
n−1
xe +2e − 2xe − 2e + xe xe
=0
xe +2e − 2xe − 2e +
=0
En esta ´ ultima ecuaci´ on, se observan las dos propiedades caracter´ ısticas de las ecuaciones diferencia-
0=
les lineales: 0= 0.0.
1. La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo
para todo n´ umero real.
para todo n´ umero real.
t´ ermino donde aparece y es 1.
Nota 1.1 1.1
Nota
2. Cada coeficiente s´ olo depende de x, que es la variable independiente.
No toda ecuaci´ on diferencial tiene necesariamente una soluci´ on, como se muestra en el siguiente ejemplo.
No toda ecuaci´ on diferencial tiene necesariamente una soluci´ on, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Las funciones de y como sen y o las funciones de las derivadas de y, como e no pueden aparecer en una
y
′
Ejemplo 1.3 1.3 Cuando una ecuaci´ on diferencial no es lineal, se dice que es no lineal.
ecuaci´ on
Ejemplo lineal.
Las ecuaciones
−3x
Comprobar que la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial y +5y +6y =0, esta dada por y =
−2x
+c 2 e 2 e
Comprobar que la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial y +5y +6y =0, esta dada por y = c 1 e c 1 e −2x +c −3x . .
′ ′
′′ ′′
3
dy
3 d y
x
(y − x)dx +4xdy =0,
Soluci´ on: De nuevo, se sustituyen las derivadas de la soluci´ on en la ecuaci´ on diferencial dada: y
Soluci´ on: De nuevo, se sustituyen las derivadas de la soluci´ on en la ecuaci´ on diferencial dada: y ==
′ ′
+6y = e
′′
′
y − 2y + y =0, x
dx 3 − dx
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 17