Page 20 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferencialesarte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales

Son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.
−2x
−3x
−3x
−2x
y y =4c 1 e
− 3c 2 e
Son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.2c 1 e
+9c 2 e
′′
−
Por otro lado, las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias, no lineales de primero, segundo
Por otro lado, las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias, no lineales de primero, segundo
y +5y +6y =0
′′
′
y cuarto orden, respectivamente:
y cuarto orden, respectivamente:
−2x −3x −2x −3x −2x −3x
4c 1 e +9c 2 e +5 −2c 1 e − 3c 2 e +6 c 1 e + c 2 e =0
x x
1. (1 + y)y +2y = e e e −2x (4c 1 − 10c 1 +6c 1 )+ e −3x (9c 2 − 15c 2 +6c 2 )= 0
1. (1 + y)y +2y =
′ ′
El coeficiente del t´ ermino con la derivada y , tiene a la variable dependiente y: (1+y)y ′ ′
El coeficiente del t´ ermino con la derivada y , tiene a la variable dependiente y: (1+y)y
′ ′
0= 0.
2 2
2. 2. d d y y 2 + sen y =0
2 + sen y =0
dx
dx
El segundo t´ ermino es una funci´ on no lineal de la variable dependiente y: sen y y
El segundo t´ ermino es una funci´ on no lineal de la variable dependiente y: sen
Ejemplo 1.4
4 4
3. 3. d d y y 4 + y =0
2 2
4 + y =0
dx
dx
¿Para qu´ e valores de la constante m ser´ a y = e mx soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial 2y +y −5y +2y =
′′′
′
′′
La derivada de orden cero est´ a elevada a la segunda potencia: 2 2
La derivada de orden cero est´ a elevada a la segunda potencia: y y
0?
2 mx
3 mx
Soluci´ on: Se obtienen las derivadas necesarias y = me mx , y = m e y y = m e y se sustituyen
′
′′′
′′
1.2.2. Tipos de soluci´ on para una ecuaci´ on diferencial
1.2.2. ecuaci´ on diferencial dada.
en la Tipos de soluci´ on para una ecuaci´ on diferencial
3 mx 2 mx mx mx
Uno de los objetivos de este curso es resolver o hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
Uno de los objetivos de este curso es resolver o hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
2 m e
)+2 (e
)= 0
+ m e
− 5(me
3 2
mx
e 2m + m − 5m +2 =0
Definici´ on 1.2 Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial
Definici´ on 1.2 Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial
Dado que e mx no puede ser cero, entonces el otro factor lo debe de ser para que la igualdad se cumpla.
Cuando una funci´ on f, definida en alg´ un intervalo I, se sustituye en una ecuaci´ on diferencial y transforma
Cuando una funci´ on f, definida en alg´ un intervalo I, se sustituye en una ecuaci´ on diferencial y transforma
3 2
Por tanto, se necesita encontrar las ra´ ıces de ese polinomio; esto es: 2m + m − 5m +2 = (m − 1)(m −
esa ecuaci´ on en una identidad, se dice que es una soluci´ on de la ecuaci´ on en el intervalo.
esa ecuaci´ on en una identidad, se dice que es una soluci´ on de la ecuaci´ on en el intervalo.
1/2)(m + 2) = 0. As´ ı, los valores de m =1, m = −2 y m =1/2 hacen a la funci´ on y = e mx una
soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial dada.
En otras palabras una soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria, como la ecuaci´ on (1.2), es una
En otras palabras una soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria, como la ecuaci´ on (1.2), es una
funci´ on f con al menos n derivadas
funci´ on f con al menos n derivadas y y
Ejemplo 1.5
(n)(x)
(1.4)
F(x, f(x),f (x),. .., f f (n)(x) )=0, ∀x ∈ I I (1.4)
F(x, f(x),f (x),. ..,
′ ′
)=0, ∀x ∈
Para cualquier valor de c, la funci´ on y = c/x +1 es una soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial de primer
orden
se dice que y = f(x) satisface la ecuaci´ on diferencial. El intervalo I puede ser intervalo abierto (a, b),
se dice que y = f(x) satisface la ecuaci´ on diferencial. El intervalo I puede ser intervalo abierto (a, b),
dy
x
cerrado [a, b], infinito (a, ∞), etc. Para fines did´ acticos, tambi´ en se supondr´ a que una soluci´ on f es una
+ y =1
cerrado [a, b], infinito (a, ∞), etc. Para fines did´ acticos, tambi´ en se supondr´ a que una soluci´ on f es una
dx
funci´ on de valores reales.
funci´ on de valores reales.
en el intervalo (0, ∞).
Soluci´ on: Se procede de igual forma que el ejemplo anterior
Ejemplo 1.1
Ejemplo 1.1
d c c
Comprobaci´ on de una soluci´ on. x +1 + +1 =1
Comprobaci´ on de una soluci´ on.
dx x x
c
Comprobar que y = x /16 es una soluci´ on de la ecuaci´ on no lineal
c

4 4
Comprobar que y = x /16 es una soluci´ on de la ecuaci´ on no lineal

x − + +1 = 1
x 2 x
dy dy 1 1 1= 1
= xy
= xy 2 2
dx
dx
Dando a c distintos valores reales es posible generar un n´ umero infinito de soluciones. En particular, para
en el intervalo (−∞, ∞).
en el intervalo (−∞, ∞). on constante y =1.
c =0 se obtiene una soluci´
Soluci´ on: Un modo de comprobar que la funci´ on dada es soluci´ on es escribir la ecuaci´ on diferencial
En el ejemplo anterior, y = c/x +1 es una soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial en cualquier intervalo
Soluci´ on: Un modo de comprobar que la funci´ on dada es soluci´ on es escribir la ecuaci´ on diferencial
1 1
1 1
dy
− xy 2 =0, y ver, despu´ es de sustituir, si la suma
− xy 2 es cero para toda x en
en la forma
− xy 2 =0, y ver, despu´ es de sustituir, si la suma
en la forma
que no contenga el origen. La funci´ on no es diferenciable en x =0. dy − xy 2 es cero para toda x en el el
dy
dy
dx dx
dx
dx
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
20 Dr