Page 27 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferencialesarte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
P
intervalo.aso e) Sustituyendo (1.16) en (1.15) y simplificando las expresiones se obtiene la ecuaci´ on diferencial
P intervalo.
de la familia de curvas
dy dy 1 1
− xy 2 =0

− xy 2 =0
2
2
dx dx x − y
9 −
2ydy = − 2x + 1 1

4 4
dd xx xx x 4 4 2 2
=0

2 − x − x 2 2 =0 2 2
dx dx 2x +9 − x − y −x + y − 9
16 16
16 16
2ydy = − =
4 4 x
x
44 3 3 x 2 x 2
=0
x − x − x
2
x 2
dy −x + y − 9 √ √ =0
= 16 16 16 16 (1.17)
dx 2xy
3 3
3 3
xx xx
=0
− − =0
44
44
En la figura 1.5 se muestra la familia de curvas (1.13), con una variaci´ on del par´ ametro −9 ≤ c ≤ 9.
Puede observarse que todas las circunferencias
1/2 1/2 pasan por los puntos (0, −3) y (0, 3).
Para todo n´ umero real. Obs´ ervese que
= x /4 es, por definici´ on, la ra´ ız cuadrada no negativa
2 2
Para todo n´ umero real. Obs´ ervese que y y = x /4 es, por definici´ on, la ra´ ız cuadrada no negativa de de
x /16.
4 4
x /16.
Familia de circunferencias que pasan por (0,3) y (0,−3)
6
Ejemplo 1.2 1.2
Ejemplo
La funci´ on y = xe es una soluci´ on de la ecuaci´ on lineal
x x
La funci´ on y = xe es una soluci´ on de la ecuaci´ on lineal
4
′′ ′′
y − 2y + y
y − 2y + y =0 =0
′ ′
2
en el intervalo (−∞, ∞).).
en el intervalo (−∞, ∞
Soluci´ on: Para demostrarlo, se sustituyen las respectivas derivadas de la funci´ on dada
Soluci´ on: Para demostrarlo, se sustituyen las respectivas derivadas de la funci´ on dada
0
x x
x x
x x
y = xe + e + e y = xe +2e x x
′′ ′′
y = xe
′ ′
y = xe +2e
−2
lo que devuelve
lo que devuelve
−4
y − 2y + y
y − 2y + y ==
′ ′
′′ ′′
x x
x x
x x
x x
x x
(xe +2e ) − 2(xe + e )+(xe )=
−6 (xe +2e ) − 2(xe + e )+(xe )= 00
−10 −5 0 5 10
x x
x x
x x
x x
x x
xe +2e − 2xe − 2e +
=0
xe +2e − 2xe − 2e + xe xe =0
0=
0= 0.0.
Figura 1.5: Familia de circunferencias con centros en el eje x y que pasan por los puntos (0, −3) y (0, 3)
[Elaboraci´ on propia].
para todo n´ umero real.
para todo n´ umero real.
1.5. Familia de circunferencias con centros en el eje x y que pasan por los puntos (0,−3) y (0, 3)
[Elaboración propia]
Nota 1.1 1.1
Nota
No toda ecuaci´ on diferencial tiene necesariamente una soluci´ on, como se muestra en el siguiente ejemplo.
No toda ecuaci´ on diferencial tiene necesariamente una soluci´ on, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Ejemplo 1.3 1.3
−3x
+c 2 e 2 e
Comprobar que la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial y +5y +6y =0, esta dada por y = c 1 e c 1 e −2x +c −3x . .
Comprobar que la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial y +5y +6y =0, esta dada por y =
−2x
′ ′
′′ ′′
Soluci´ on: De nuevo, se sustituyen las derivadas de la soluci´ on en la ecuaci´ on diferencial dada: y
Soluci´ on: De nuevo, se sustituyen las derivadas de la soluci´ on en la ecuaci´ on diferencial dada: y ==
′ ′
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 27