Page 25 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones DiferencialesParte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales

intervalo.
intervalo.
Soluciones de la ED
y dy dy
1 1

− xy 2 =0
d
− xy 2 =0
dx dx

1 1

4 4
4 4
dd
xx
xx
2 2
− x − x
=0
=0

16 16 16 16
dx dx

4 4

44
x 2 x 2
3 3
=0
x − x − x (x 0 ,y 0 ) =0
x
√ √
16 16
16 16

3 3
3 3
xx
xx
=0
− − =0

44
44
c
Para todo n´ umero real. Obs´ ervese que
= x /4 es, por definici´ on, la ra´ ız cuadrada no negativa
2 2
1/2 1/2
Para todo n´ umero real. Obs´ ervese que y y = x /4 es, por definici´ on, la ra´ ız cuadrada no negativa de de
x /16.
x /16.
4 4

a I b x
Ejemplo 1.2 1.2
Ejemplo
Figura 1.4: Interpretaci´ on geom´ etrica del teorema de existencia y unicidad [Elaboraci´ on propia].
La funci´ on y = xe es una soluci´ on de la ecuaci´ on lineal
La funci´ on y = xe es una soluci´ on de la ecuaci´ on lineal
x x
y − 2y + y =0 =0 y = ±2 es la regi´ on para la que se tendr´ a
Por lo tanto, cualquier punto (x 0 ,y 0 ) de plano xy excepto
y − 2y + y para
′ ′
′′ ′′
una soluci´ on ´ unica.
en el intervalo (−∞, ∞).).
en el intervalo (−∞, ∞
Soluci´ on: Para demostrarlo, se sustituyen las respectivas derivadas de la funci´ on dada
Soluci´ on: Para demostrarlo, se sustituyen las respectivas derivadas de la funci´ on dada
1.4. Obtenci´ on de la ecuacion x x y = xe +2e x x
y = xe + e + e diferencial de una familia de curvas
y = xe´
x x
x x
′′ ′′
y = xe +2e
′ ′
Esta aplicaci´ on consiste en partir de una familia n-param´ etrica de curvas, para encontrar una ecuaci´ on
lo que devuelve
lo que devuelve
diferencial de orden n, asociada a ella y que est´ a libre de par´ ametros arbitrarios.
Metodolog´ ıa y − 2y + y ==
y − 2y + y
′′ ′′
′ ′
Para obtener la ecuaci´ on diferencial de una familia de curvas, haga lo siguiente:
x x
x x
x x
x x
x x
(xe +2e ) − 2(xe + e )+(xe )=
(xe +2e ) − 2(xe + e )+(xe )= 00
x x
x x
x x
x x
x x
xe +2e − 2xe − 2e + xe xe
xe +2e − 2xe − 2e +
=0
=0
a) Halle la expresi´ on correspondiente a la familia de curvas utilizando sus conocimientos de Geometr´ ıa
Anal´ ıtica. 0= 0.0.
0=
b) Tenga en cuenta el hecho de que el n´ umero de constantes o par´ ametros arbitrarios nos indica el orden
para todo n´ umero real.
para todo n´ umero real.
de la ecuaci´ on diferencial a obtener.
Nota
Nota 1.1 1.1
c) Derive tantas veces como sea necesario de acuerdo con el punto b).
No toda ecuaci´ on diferencial tiene necesariamente una soluci´ on, como se muestra en el siguiente ejemplo.
No toda ecuaci´ on diferencial tiene necesariamente una soluci´ on, como se muestra en el siguiente ejemplo.
d) Si alguna constante o par´ ametro arbitrario no ha desaparecido, desp´ ejese de la expresi´ on obtenida en
Ejemplo y sustit´
Ejemplo 1.3 1.3 uyase para obtener el resultado final.
a)
Comprobar que la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial y +5y +6y =0, esta dada por y = c 1 e c 1 esolo miem- . .
−3x
−2x
Comprobar que la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial y +5y +6y =0, esta dada por y = en un
e) Por cuestiones est´ eticas matem´ aticas, deje las expresiones que contengan derivadas
+c
−2x
+c 2 e 2 e
−3x
′ ′
′′ ′′
bro de la ecuaci´ on diferencial obtenida.
Soluci´ on: De nuevo, se sustituyen las derivadas de la soluci´ on en la ecuaci´ on diferencial dada: y ==
Soluci´ on: De nuevo, se sustituyen las derivadas de la soluci´ on en la ecuaci´ on diferencial dada: y
′ ′
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 25