Page 19 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
P
Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferencialesarte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
intervalo.alo.
interv
intervalo.
dy dy 1 1
dy
1
− xy 2 =0
− xy 2 =0=0
− xy 2
dx
dx dx
1 1

1
4

4 4
4

d xx xx 2 2
x
dd x
4 4 2
=0
=0
− x − x
− x =0
16 16
dx 16 16 16
dx dx 16
4 4

4
44 3 3 x 2
4
x 2 x 2
3
=0
x x− x √ √ =0
=0
x − x − x √
16 16
16 16 16
16
3 3
3
3 3
3
xx xx
x
x
=0
=0
− − =0
−
44 44
4
4
= x /4 es, por definici´ on, la ra´ ız cuadrada no negativa
1/2 1/2
2
2 2
Para todo n´ umero real. Obs´ ervese que 1/2 = x /4 es, por definici´ on, la ra´ ız cuadrada no negativa de de
Para todo n´ umero real. Obs´ ervese que y y = x /4 es, por definici´ on, la ra´ ız cuadrada no negativa de
Para todo n´ umero real. Obs´ ervese que y
x /16.
4 4
x /16./16.
4
x
Ejemplo 1.2 1.2
Ejemplo
Ejemplo 1.2
La funci´ on y = xe es una soluci´ on de la ecuaci´ on lineal
La funci´ on y = xe es una soluci´ on de la ecuaci´ on linealfunci´ on y = xe es una soluci´ on de la ecuaci´ on lineal
La x x
x
′′
′ ′
y − 2y + y =0
′
y − 2y + y
y − 2y + y =0 =0
′′ ′′
en el intervalo (−∞, ∞).
en el intervalo (−∞, ∞).).
en el intervalo (−∞, ∞
Soluci´ on: Para demostrarlo, se sustituyen las respectivas derivadas de la funci´ on dadaon: Para demostrarlo, se sustituyen las respectivas derivadas de la funci´ on dada
Soluci´ on: Para demostrarlo, se sustituyen las respectivas derivadas de la funci´ on dada
Soluci´
x x
x
x
x
x
′′ ′′
y = xe+ e
y = xe x x x x y = xe +2e= xe +2e x x
y
′ ′
y = xe + e + e
y = xe +2e
′
′′
lo que devuelve
lo que devuelveque devuelve
lo
y − 2y + y ==
′ ′
′′
′′ ′′
′
y − 2y + y =
y − 2y + y
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
(xe +2e ) − 2(xe + e )+(xe )= 00
(xe +2e ) − 2(xe + e )+(xe )=
(xe +2e ) − 2(xe + e )+(xe )= 0
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
=0
xe +2e − 2xe − 2e + xe
xe +2e − 2xe − 2e + xe xe =0
xe +2e − 2xe − 2e +
=0
0=
0= 0.
0= 0.0.
para todo n´ umero real.
para
para todo n´ umero real.todo n´ umero real.
Nota 1.1 1.1
Nota
Nota 1.1
No toda ecuaci´ on diferencial tiene necesariamente una soluci´ on, como se muestra en el siguiente ejemplo.toda ecuaci´ on diferencial tiene necesariamente una soluci´ on, como se muestra en el siguiente ejemplo.
No No toda ecuaci´ on diferencial tiene necesariamente una soluci´ on, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.3
Ejemplo 1.3 1.3
Ejemplo
−3x
−2x
+c
−3x3x
Comprobar que la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial y +5y +6y =0, esta dada por y = c 1 e
Comprobar que la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial y +5y +6y =0, esta dada por y = c 1 e c 1 e +c 2 e
′′ ′′
Comprobar que la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial y +5y +6y =0, esta dada por y = −2x2x +c 2 e 2 e . . .
′ ′
−
′′
−
′
Soluci´ on: De nuevo, se sustituyen las derivadas de la soluci´ on en la ecuaci´ on diferencial dada: y ==
Soluci´ on: De nuevo, se sustituyen las derivadas de la soluci´ on en la ecuaci´ on diferencial dada: y
′ ′
Soluci´ on: De nuevo, se sustituyen las derivadas de la soluci´ on en la ecuaci´ on diferencial dada: y=
′
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 19
Dr