Page 16 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
Parte I: Introducci´ on a las Ecuaciones DiferencialesParte I: Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales

Son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.
Son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.
1.1. Introducci´ on
Por otro lado, las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias, no lineales de primero, segundo
Por otro lado, las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias, no lineales de primero, segundo
y cuarto orden, respectivamente:
En esta parte se definen y
y cuarto orden, respectivamente: establecen los conceptos fundamentales relacionados con las ecuaciones
diferenciales, su clasificaci´ on y sus tipos de soluci´ on. As´ ı mismo, se discute la interpretaci´ on geom´ etrica
de los tipos de soluci´ on, del x x
1. (1 + y)y +2y = e e problema de valor inicial y del teorema de existencia y unicidad. Tambi´ en
1. (1 + y)y +2y =
′ ′
se describe un m´ etodo para la obtenci´ on de la ecuaci´ on diferencial de una familia de curvas. Diferentes
El coeficiente del t´ ermino con la derivada y , tiene a la variable dependiente y: (1+y)y
′ ′
El coeficiente del t´ ermino con la derivada y , tiene a la variable dependiente y: (1+y)y
′ ′
ejemplos acordes a los t´ opicos tratados en esta unidad est´ an incluidos. Se utiliza software pertinente para
2 2
d
2. 2. d y y 2 + sen y =0
2 + sen y =0
dx
dx
generar las gr´ aficas de varios ejemplos. Los apuntes mostrados aqui fueron tomados de [5].
El segundo t´ ermino es una funci´ on no lineal de la variable dependiente y: sen y y
El segundo t´ ermino es una funci´ on no lineal de la variable dependiente y: sen
4 4
3. 3. d d y y 4 + y =0
2 2
4 + y =0
1.2. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales 2 2
dx
dx
La derivada de orden cero est´ a elevada a la segunda potencia:
La derivada de orden cero est´ a elevada a la segunda potencia: y y
1.2.1. Definici´ on y clasificaci´ on de las ecuaciones diferenciales
1.2.2. Tipos de soluci´ on para una ecuaci´ on diferencial
1.2.2.
Tipos de soluci´ on para una ecuaci´ on diferencial
En c´ alculo se aprendi´ o que la derivada, dy/dx, de la funci´ on y = f(x) es en s´ ı, otra funci´ on de x
2
que se determina siguiendo las reglas adecuadas. Por ejemplo, si y = e , entonces dy/dx =2xe .
Uno de los objetivos de este curso es resolver o hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales. Al
2
x
x
Uno de los objetivos de este curso es resolver o hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
reemplazar e x 2 por el s´ ımbolo y se obtiene
Definici´ on 1.2 Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial
Definici´ on 1.2 Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial
dy
=2xy (1.1)
Cuando una funci´ on f, definida en alg´ un intervalo I, se sustituye en una ecuaci´ on diferencial y transforma
Cuando una funci´ on f, definida en alg´ un intervalo I, se sustituye en una ecuaci´ on diferencial y transforma
dx
El problema que se resuelve en este curso no es dada una funci´ on y = f(x), determinar
esa ecuaci´ on en una identidad, se dice que es una soluci´ on de la ecuaci´ on en el intervalo. su derivada. El
esa ecuaci´ on en una identidad, se dice que es una soluci´ on de la ecuaci´ on en el intervalo.
problema es dada una ecuaci´ on diferencial, como la ecuaci´ on (1.1), ¿Hay alg´ un m´ etodo por el cual se
pueda llegar a la funci´ on desconocida ?
En otras palabras una soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria, como la ecuaci´ on (1.2), es una
En otras palabras una soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria, como la ecuaci´ on (1.2), es una
funci´ on f con al menos n derivadas y y
funci´ on f con al menos n derivadas
Definici´ on 1.1 Ecuaci´ on diferencial.
Una ecuaci´ on que contiene todas las derivadas de una o m´ as variables dependientes con respecto a una
(1.4)
(n)(x)
F(x, f(x),f (x),. .., (n)(x) )=0, ∀x ∈ I I (1.4)
F(x, f(x),f (x),. .., f f
′ ′
)=0, ∀x ∈
om´ as variables independientes es una ecuaci´ on diferencial.
se dice que y = f(x) satisface la ecuaci´ on diferencial. El intervalo I puede ser intervalo abierto (a, b),
se dice que y = f(x) satisface la ecuaci´ on diferencial. El intervalo I puede ser intervalo abierto (a, b),
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a su tipo,orden y linealidad.
cerrado [a, b], infinito (a, ∞), etc. Para fines did´ acticos, tambi´ en se supondr´ a que una soluci´ on f es una
cerrado [a, b], infinito (a, ∞), etc. Para fines did´ acticos, tambi´ en se supondr´ a que una soluci´ on f es una
funci´ on de valores reales.
funci´ on de valores reales.
Clasificaci´ on seg´ un el tipo
Ejemplo 1.1
Ejemplo 1.1
Si una ecuaci´ on solo contiene derivadas ordinarias de una o m´ as variables dependientes con respecto a
una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuaci´ on diferencial ordinaria. Por ejemplo,
Comprobaci´ on de una soluci´ on.
Comprobaci´ on de una soluci´ on.
Comprobar que y = x /16 es una soluci´ on de la ecuaci´ on no lineal
4 4
Comprobar que y = x /16 es una soluci´ on de la ecuaci´ on no lineal
2
dy
d y
dy
x
+6y =0
y
+ 10y = e
dx dx 2 − dx
son ecuaciones diferenciales ordinarias. dy dy 1 1
= xy
= xy 2 2
Una ecuaci´ on que contiene las derivadas parciales de una o mas variables dependientes, respecto de
dx
dx
dos o mas variables independientes, se llama ecuaci´ on en derivadas parciales. Por ejemplo,
en el intervalo (−∞, ∞).
en el intervalo (−∞, ∞).
∂u ∂v
= −
∂y ∂x
Soluci´ on: Un modo de comprobar que la funci´ on dada es soluci´ on es escribir la ecuaci´ on diferencial
Soluci´ on: Un modo de comprobar que la funci´ on dada es soluci´ on es escribir la ecuaci´ on diferencial
2
2
∂ u
∂ u
∂u
1 1
1 1
− xy 2 es cero para toda x en
en la forma dy − xy 2 =0, y ver, despu´ es de sustituir, si la suma dy − xy 2 es cero para toda x en el el
dy
− xy 2 =0, y ver, despu´ es de sustituir, si la suma
dy
en la forma
=
− 2
dx ∂x 2 ∂t 2 ∂t dx
dx
dx
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
16 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May