Page 150 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Ap´ endice A: Problemario de las Partes I y IIendice A: Problemario de las Partes I y II
Ap´
8. Hallar las trayectorias ortogonales a las circunferencias que pasan por el origen con centro en elHallar las trayectorias ortogonales a las circunferencias que pasan por el origen con centro en el
8.
4.2.2. Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
eje
eje x. Dib´ ujese ambas trayectorias empleando DERIVE o MATLAB.x. Dib´ ujese ambas trayectorias empleando DERIVE o MATLAB.
can´ onica
9. Para la familia x +3y = cy, encu´ entrese el miembro de las trayectorias ortogonales que pase+3y = cy, encu´ entrese el miembro de las trayectorias ortogonales que pase
2 2
2 2
9. Para la familia x
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
por
por (1, 2). Dib´ ujese la familia y la trayectoria ortogonal que pasa por el punto dado empleando(1, 2). Dib´ ujese la familia y la trayectoria ortogonal que pasa por el punto dado empleando
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
DERIVE o MATLAB.o MATLAB.
DERIVE
posible.
Ejemplo 4.2
Reducir el siguiente sistema:
2
2
(D − D + 5)x +2D y = e t (4.7)
2
−2x +(D + 2)y =3t 2 (4.8)
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema

2
2
t
D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
2
2
D y =3t +2x − 2y (4.10)
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)

2
t
2
2
2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
t
2
2
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx (4.11)
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
t
2
Du = e − 6t − 9x +4y + u
2
Dv =3t +2x − 2y
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Dx = u
Dy = v

2
t
Du = e − 6t − 9x +4y + u
2
Dv =3t +2x − 2

4.2.3. Sistemas degenerados o degradados

Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
la forma normal son degenerados o degradados

150 Dr
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May