Page 152 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Ap´ endice B: Problemario de las Partes III y IV Ap´ endice B: Problemario de las Partes III y IV

Sugerencia: Verifique sus c´ alculos construyendo las gr´ aficas que corresponden a la posici´ on,de Aplicaci´ on de Ingenier´ ıa en Energ´ ıa e Ingenier´ ıa en Mecatr´ onica:
3. Problemas
4.2.2. Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
velocidad y aceleraci´ on utilizando DERIVE o MATLAB.
can´ onica
a) Encuentre la carga que contiene el capacitor de un circuito R − L − C en serie para t =0.01
b) Una masa de 1 slug se sujeta a un resorte cuya constante es de 5 lb/pie. Inicialmente una masa
segundos cuando L =0.05 H, R = 2Ω, C =0.01 F, E(t)=0 V, q(0) = 5 Ce i(0) = 0 A.
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
se suelta desde un punto que se encuentra 1 pie por debajo de la posici´ on de equilibrio con una
Determinar el primer instante para el cual la carga en el capacitor es igual a cero. Compruebe
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
velocidad hacia abajo de 5 pie/s y el movimiento subsiguiente se desarrolla en un medio que
posible. sus resultados obteniendo la gr´ afica de q(t) con la ayuda de DERIVE o MATLAB.
opone una fuerza de amortiguaci´ on num´ ericamente igual a 2 veces la velocidad instant´ anea.
Ejemplo 4.2 En los siguientes problemas determine la carga en el capacitor y la corriente en el circuito
b)
1) Encuentre la ecuaci´ on del movimiento si la masa es impulsada por una fuerza externa
R − L − C en serie dado. Hallar la carga m´ axima en el capacitor. Grafique la carga y la
Reducir el siguiente sistema: = 12 cos(2t) + 3 sen(2t).
igual a f(t)
corriente en cada caso con la ayuda de DERIVE o MATLAB.
2) Grafique las soluciones 2 transitoria y de estado estacionario en los mismos ejes coordena-
t
2
(D − D + 5)x +2D y = e
1) L =5/3 H, R = 10 Ω, C =1/30 F, E(t) = 300 V, q(0) = 0 Ce i(0) = 0 A. (4.7)
dos utilizando DERIVE o MATLAB.
2
2
−2x +(D + 2)y =3t
2) L =1 H, R = 100 Ω, C =0.0004 F, E(t) = 30 V, q(0) = 0 Ce i(0) = 2 A. (4.8)
3) Grafique la ecuaci´ on completa del movimiento utilizando DERIVE o MATLAB.
c) Mu´ estrese que la corriente en estado estacionario de un circuito R − L − C en serie cuando
a la forma normal.
c) Problema de Aplicaci´ on de Ingenier´ ıa Civil
L =1/2 H, R = 20 Ω,
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema C =0.001 F, E(t) = 100 sen(60t) V est´ a dada por
1) Para una viga en voladizo, empotrada en su extremo izquierdo (x = 0) y libre en su
2
2
t
D x +2D y = e − 5x + Dx
i p (t)=4.160 sen(60t − 0.588) A
extremo derecho (x = L) debe satisfacer (4.9)
2
2
D y =3t +2x − 2y (4.10)
. d y
4
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9) EI dx 4 = w(x)
4. Problemas de Aplicaci´ on para alumnos de Ingenier´ ıa Mec´ anica:
as´ ı como y(0) = 0, y (0) = 0, y (L) =0,y y (L) =0.
′′′
′
′′
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y) y la pendiente son
Las primeras dos condiciones establecen que la deflexi´ on de la viga
2
2
2
2
t
a) Un peso de 64 lb sujeto al extremo de un resorte lo estira 0.32 pie. En una posici´ on 8 pulgadas
t que el momento torsionante y la fuerza cortante son
cero en x =0, y las ´ ultimas dos,
arriba de la posici´ on de equilibrio, se le proporciona una velocidad hacia abajo de 5 pie/s.
2
(4.11)
2
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx
nulas en x = L. Hallar la deflexi´ on de la viga cuando una carga constante w 0 est´ a uni-
1) Encuentre la ecuacion de movimiento.
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
formemente repartida a lo largo de la viga. Determine la deflexi´ on de en el punto medio
2) Como son la amplitud y el periodo del movimiento?
t´ m´ axima. Utilizando DERIVE o MATLAB, construya
de la viga, as´ ı como su deflexion 2
Du = e − 6t − 9x +4y + u
3) Cuantas oscilaciones completas habra realizado el peso despues de 3π segundos?
la gr´ afica que corresponde a la deflexi´ on considerando que L = w 0 = EI =1.
2
Dv =3t +2x − 2y
4) En que instante pasa el cuerpo por la posicion de equilibrio en direccion hacia abajo, por
5. Resuelva los siguientes problemas:
segunda vez?
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
5) En At que instante alcanza el cuerpo sus desplazamientos extremos hacia uno y otro lado de
a) Hallar e para las siguientes matrices A
Dx = u
la posicion de  equilibrio?  

21 Dy = v 1 t
At
2t
6) ¿Cu´
1) A = al es la posici´ on del peso en t =3 segundos?
. Respuesta: e
= e
2
02 Du = e − 6t − 9x +4y + u
t
01
7) ¿Cu´ al  es la velocidad instant´ anea en t =3 segundos? 


2
20 0 Dv =3t +2x − 2 10 0
8) ¿Cu´ al  es la aceleraci´ on en t =3 segundos?
2t


2) A =  02 1 . Respuesta: e At = e  01 t 

9) ¿Cu´ al es la velocidad instant´ anea en los momentos cuando el peso pasa por la posici´ on
00 2
00 1
de equilibrio?
b) Defina X(t), A(t), C y t 0 de tal modo que el sistema dado sea equivalente a
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados
10) ¿En qu´ e instantes est´ a el peso 5 pulgadas abajo de la posici´ on de equilibrio?
˙
X(t)= A(t)X(t)+ F(t)
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
11) ¿En qu´ e instantes est´ a el peso 5 pulgadas abajo de la posici´ on de equilibrio con direcci´ on
hacia arriba?
X(t
la forma normal son degenerados o degradados 0 )= C
152 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
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