Page 153 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Ap´ endice B: Problemario de las Partes III y IV
Ap´ endice B: Problemario de las Partes III y IV Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

3. Problemas de Aplicaci´ on de Ingenier´ ıa en Energ´ ıa e Ingenier´ ıa en Mecatr´ onica:a la posici´ on,
Sugerencia: Verifique sus c´ alculos construyendo las gr´ aficas que corresponden
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
velocidad y aceleraci´ on utilizando DERIVE o MATLAB.
n
d y
a) Encuentre la carga que contiene el capacitor de un circuito + f(t) (4.4)
a 1
a n−1 (n−1) R − L − C en serie para t =0.01
a 0
′
y
y − . .. −
y −
= −
b) Una masa de 1 slug n a n a n a n
dtse sujeta a un resorte cuya constante es de 5 lb/pie. Inicialmente una masa
segundos cuando L =0.05 H, R = 2Ω, C =0.01 F, E(t)=0 V, q(0) = 5 Ce i(0) = 0 A.
se suelta desde un punto que se encuentra 1 pie por debajo de la posici´ on de equilibrio con una
Determinar el primer instante para el cual la carga en el capacitor es igual a cero. Compruebe
y se hacen los cambios de variables
velocidad hacia abajo de 5 pie/s y el movimiento subsiguiente se desarrolla en un medio que
sus resultados obteniendo la gr´ afica de q(t) con la ayuda de DERIVE o MATLAB.
opone una fuerza de amortiguaci´ . .., y (n−1) (4.5)
′on num´ ericamente igual a 2 veces la velocidad instant´ anea.
y = x 2 ,
y = x 1 ,
= x n
b) En los siguientes problemas determine la carga en el capacitor y la corriente en el circuito
1) Encuentre la ecuaci´ on del movimiento si la masa es impulsada por una fuerza externa
R − L − C en serie dado. Hallar la carga m´ axima en el capacitor. Grafique la carga y la
se observa que
igual a f(t) = 12 cos(2t) + 3 sen(2t).
corriente en cada caso con la ayuda de DERIVE o MATLAB.
(n)ejes coordena-
′ 2) Grafique las soluciones transitoria y de estado estacionario en los mismos
(n−1)
′
y = x = x 2 , y = x = x 3 , . .., y = x ′ = x n , y = x ′
′
′′
1 =5/3 H, R = 10 Ω, C =1/30 F, E(t) = 300 V, q(0) = 0 Ce i(0) = 0 A.
1) L 2 n−1 n
dos utilizando DERIVE o MATLAB.
2) L =1 H, R = 100 Ω, C =0.0004 F, E(t) = 30 V, q(0) = 0 Ce i(0) = 2 A.
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
3) Grafique la ecuaci´ on completa del movimiento utilizando DERIVE o MATLAB.
c) Mu´ estrese que la corriente en estado x estacionario de un circuito R − L − C en serie cuando
′
= x 2
c) Problema de Aplicaci´ on de Ingenier´ ıa Civil
1
L =1/2 H, R = 20 Ω, C =0.001 F, x E(t) = 100 sen(60t) V est´ a dada por
′
2 = x 3
1) Para una viga en voladizo, empotrada . . en su extremo izquierdo (x = 0) y libre en su
.
i p (t)=4.160 sen(60t − 0.588) A
extremo derecho (x = L) debe ′ satisfacer
x n−1 = x n
4
.
y en consecuencia d y
EI = w(x)
a 0 a 1 dx 4 a n−1
′
x = − x 1 − x 2 − . .. − x n + f(t) (4.6)
n
4. Problemas de Aplicaci´ on para a n alumnos de Ingenier´ ıa Mec´ anica:
a n
a n
as´ ı como y(0) = 0, y (0) = 0, y (L) =0,y y (L) =0.
′′′
′
′′
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
Las primeras dos condiciones establecen que la deflexi´ on de la viga y la pendiente son
a) Un peso de 64 lb sujeto al extremo de un resorte lo estira 0.32 pie. En una posici´ on 8 pulgadas
Ejemplo 4.1 cero en x =0, y las ´ ultimas dos, que el momento torsionante y la fuerza cortante son
arriba de la posici´ on de equilibrio, se le proporciona una velocidad hacia abajo de 5 pie/s.
nulas en x = L. Hallar la deflexi´ on de la viga cuando una carga constante w 0 est´ a uni-
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
1) Encuentre la ecuacion de movimiento.
formemente repartida a lo largo de la viga. Determine la deflexi´ on de en el punto medio
2) Como son la amplitud y el periodo del movimiento?
de la viga, as´ ı como su
′′ deflexi´ on m´ axima. Utilizando DERIVE o MATLAB, construya
′
′′
2y − 6y +4y − y = sen(t)
3) Cuantas oscilaciones completas habra realizado el peso despues de 3π segundos?
la gr´ afica que corresponde a la deflexi´ on considerando que L = w 0 = EI =1.
a la forma normal. que instante pasa el cuerpo por la posicion de equilibrio en direccion hacia abajo, por
4) En
5. Resuelva los siguientes problemas:
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on
segunda vez?
5) En que instante alcanza el cuerpo sus desplazamientos extremos hacia uno y otro lado de
a) Hallar e At para las siguientes y − 2y +3y + 1 sen(t)
′′ matrices A
′′
′
y =
la posicion de equilibrio? 2  2 


21 At 2t 1 t
= e
1) A =
. Respuesta: e
′ segundos?
6) ¿Cu´ al es la posici´ on del peso en t =3
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
′′
01
02

7) ¿Cu´ al es la velocidad instant´ anea en t =3 segundos? 


20 ′ 0 ′ ′′ ′ 10 0 ′′′ ′
y = x = x 2 ,
y = x = x 3 ,
8) ¿Cu´ al es la aceleraci´ on en t =3 segundos? y = x 3
1
2t


2) A =  02 1 . Respuesta: e At = e  01 t 
2 

9) ¿Cu´ al es la velocidad instant´ anea en los momentos cuando el peso pasa por la posici´ on
00 1
00 2
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
de equilibrio?
b) Defina X(t), A(t), C y t 0 de tal modo que el sistema dado sea equivalente a
1
10) ¿En qu´ e instantes est´ a el x 1 − 2x 2 +3x 3 + sen(t)
x = peso 5 pulgadas abajo de la posici´ on de equilibrio?
′
3
2 2
˙
X(t)= A(t)X(t)+ F(t)
11) ¿En qu´ e instantes est´ a el peso 5 pulgadas abajo de la posici´ on de equilibrio con direcci´ on
hacia arriba? X(t 0 )= C
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 153
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May