Page 145 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.
La transformada inversa de Laplace de la ecuaci´ on anterior
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
′
′
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-
n

L −1 {X(s)} d y = L −1 a 0 (sI − A) −1 X(0) + L −1 −1
a n−1 (n−1) (sI − A) F(s)
a 1
′
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on y − y − . .. − y + f(t) (4.4)
dt n a n t a n
a n
At
X(t)=
se dice que es lineal si se verifica e X(0) + e A(t−τ) F(τ)dτ
y se hacen los cambios de variables 0
T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] por el Teorema de convoluci´ on.
−1
−1
donde e At = L −1 {(sI − A) } y L −1 {(sI − A) F(s)} se resuelve (5.3)
(n−1)
′
y = x 2 ,
y
y = x 1 ,
. ..,
En el caso donde las condiciones iniciales se den en t = t 0 ̸=0, se aplicar´ a la soluci´ on (4.57) (4.5)
= x n
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la
t
se observa que
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es
A(t−τ)
A(t−t 0 )
(5.57)
e
X(t)= e
X(t 0 )+
F(τ)dτ
igual a la combinacion lineal de las transformadas. t 0
(n−1)
(n)
′
′
= x n ,
′
y
′′
y
. ..,
y = x = x 3 ,
= x
= x
′
y = x = x 2 ,
donde se usa la variable τ para no confundirla con la variable s de la Transformada de Laplace. ′ n
1
n−1
2
Nota 5.2
5.3. Transformaciones
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales las secciones 4.4 y 4.5 de la Parte IV usando Transformada de
Se sugiere al estudiante resolver los mismos ejercicios de
Laplace. x ′ 1 = x 2
Las transformaciones integrales constituyen x ′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
= x 3
2
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
Ejemplo 5.34
.
.
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
′
Aplicaciones: Circuito R-L-C en serie. x n−1 = x n
transformacion integral general viene dada por
En el circuito mostrado en la figura 5.10, un inductor de 2 H (Henrios), una resistencia de 16 Ω (Ohms)
y en consecuencia
b
x 2 − . .. − una f.e.m de E V (volts). En t =0 tanto la
y un capacitor de 0.02 F (Faradios) se conectan en serie con a n−1 x n + f(t) (5.4)
a 0
a 1
(4.6)
′
x = − (t)] =
n T[f
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
a n
a n
a n
carga del capacitor como la corriente del circuito son iguales a cero. Encontrar la carga q(t) y la corriente
a
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
i(t) en cualquier tiempo t> 0 si E = 300 V (volts).
temente de la −st , se obtiene el
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
′
′′
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′′
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
define como y = y − 2y +3y + 1 sen(t)
′
′′
′′
2 ∞ cual se aplica la Transformada de Laplace para obtener la
Figura 5.10: Circuito el´ ectrico R-L-C para el 2 b

−st
L {f(t)} = F(s)=
f(t)dt = l´ım
e
carga q(t) del capacitor y la corriente i(t) del circuito e −st f(t)dt. (5.5)
′ [Elaboraci´ on propia].
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
0
′′ b→∞
0
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
′′′
′
de s; de otra manera se dice que no 1 existe. y = x = x 3 , y = x ′ 3
′
′
y = x = x 2 ,
′′
2
Soluci´ on: Sean q(t) e i(t) respectivamente, la carga y la corriente instant´ aneas en el tiempo t. Por la
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
leyes Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}
5.4.1. de Kirchhoff se tiene
x 1 1
x =
− 2x 2 +3x 3 +
1
sen(t)
di(t)
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
′
L 3 + 2 Ri(t)+ q(t)= 2 E (5.58)
C
dt
2
t
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
dq(t)
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T . (5.59)
i(t)=
dt
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 145
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May