Page 154 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Ap´ endice B: Problemario de las Partes III y IV Ap´ endice B: Problemario de las Partes III y IV
...
4.2.2. Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
Sugerencia: Verifique sus c´ alculos construyendo las gr´ aficas que corresponden a la posici´ on,1) x (t)= t, x(0) = 0, ˙x(0) = 0, ¨x(0) = 0
       
velocidad y aceleraci´ on utilizando DERIVE o MATLAB. 0
can´ onica  x 1 (t)   01   0   0 
Respuesta: X(t)=  x 2 (t) , A(t)=  00 1 , F(t)=  0 , C =  0 ,
b) Una masa de 1 slug se sujeta a un resorte cuya constante es de 5 lb/pie. Inicialmente una masa
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
x 3 (t)
t
0
00 0
se suelta desde un punto que se encuentra 1 pie por debajo de la posici´ on de equilibrio con una
t 0 =0.
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
velocidad hacia abajo de 5 pie/s y el movimiento subsiguiente se desarrolla en un medio que
posible. 2) ¨x =˙x+˙y −z +t, ¨y = tx+˙y −2y +t +1, ˙z = x−y +˙y +z, con x(1) = 1, ˙x(1) = 15,
2
opone una fuerza de amortiguaci´ on num´ ericamente igual a 2 veces la velocidad instant´ anea.
Ejemplo 4.2 y(1) = 0, ˙y(1) = −7, z(1) = 4.






1) Encuentre la ecuaci´ on del movimiento si la masa es impulsada por una fuerza externa
˙ x 1 (t)
0
0
0
0
0 1
Reducir el siguiente sistema: = 12 cos(2t) + 3 sen(2t).  0 1 −1   t 
igual a f(t)



 01


 ˙x 2 (t) 
     
Respuesta: X(t)=
2) Grafique las soluciones 1 (t)  , A(t)=  0 0 t 0 1 0  , F(t)=  0  ,
˙ y
2 transitoria y de estado estacionario en los mismos ejes coordena-

(D − D + 5)x +2D y = e   (4.7)

2 





dos utilizando DERIVE o MATLAB.  0   2 
 t 0 −21
 ˙y 2 (t) 
 t +1 
2
−2x +(D + 2)y =3t 2 (4.8)
10 −11
1
˙ z 1 (t)
3) Grafique la ecuaci´ on completa del movimiento utilizando DERIVE o MATLAB. 0
 
a la forma normal. 1
c) Problema de Aplicaci´ on de Ingenier´ ıa Civil


Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
 15 
 
1) Para una viga en voladizo, empotrada en su extremo izquierdo (x = 0) y libre en su
, t 0 =1.
0
C =


2
2
t
  D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
extremo derecho (x = L) debe satisfacer


 −7 
2
2
4 D y =3t +2x − 2y (4.10)
4
d y
c) Resuelva el siguiente sistema por el m´ etodo de la matriz exponencial: ¨x + 2˙x − 8x =4,
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9) EI dx 4 = w(x)
x(0) = 1, ˙x(0) = 2.
as´ ı como y(0) = 0, y (0) = 0, y (L) =0,y y (L) =0.
′
′′
′′′
Respuesta:
Las primeras dos condiciones establecen que la deflexi´ on de la viga
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y) y la pendiente son


2
t
2
2
2
1 −4t
1
4 2t
e + e
−
3
2
6
X(t)=
cero en x =0, y las ´ ultimas dos, t que el momento torsionante y la fuerza cortante son
8
2 −4t
2 2t
(4.11)
2
e − e
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx
3
3
nulas en x = L. Hallar la deflexi´ on de la viga cuando una carga constante w 0 est´ a uni-
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
formemente repartida a lo largo de la viga. Determine la deflexi´ on de en el punto medio
de la viga, as´ ı como su deflexion 2
t´ m´ axima. Utilizando DERIVE o MATLAB, construya
Du = e − 6t − 9x +4y + u
la gr´ afica que corresponde a la deflexi´ on considerando que L = w 0 = EI =1.
2
Dv =3t +2x − 2y
5. Resuelva los siguientes problemas:
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
a) Hallar e At para las siguientes matrices A
Dx = u
   
21 Dy = v 1 t
1) A = . Respuesta: e At = e 2t
02 Du = e − 6t − 9x +4y + u
01
t
2
  2  
20 0 Dv =3t +2x − 2 10 0
2t

2) A =  02 1 . Respuesta: e At = e  01 t 



00 2 00 1
b) Defina X(t), A(t), C y t 0 de tal modo que el sistema dado sea equivalente a
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados
˙
X(t)= A(t)X(t)+ F(t)
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
la forma normal son degenerados o degradados 0 )= C
X(t
154 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
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