Page 149 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Ap´
Ap´ endice A: Problemario de las Partes I y IIendice A: Problemario de las Partes I y II
4. En los siguientes ejercicios, obt´ engase la ecuaci´ on diferencial de la familialos siguientes ejercicios, obt´ engase la ecuaci´ on diferencial de la familia de curvas planas des-
4.
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma: de curvas planas des-En
critas
critas y bosqu´ ejense algunos miembros representativos de la familia usando DERIVE o MATLAB.y bosqu´ ejense algunos miembros representativos de la familia usando DERIVE o MATLAB.
n
d y a 0 a 1 a n−1 (n−1)
′
= − y − y − . .. − y + f(t) (4.4)
a dt n a n sobre la recta y = −x que pasen por el origen.sobre la recta y = −x que pasen por el origen.
a) Circunferencias con centro) Circunferencias con centro
a n
a n
Respuesta: (x − 2xy − y )dx +(x +2xy − y )dy =0.− 2xy − y )dx +(x +2xy − y )dy =0.
2 2
Respuesta: (x
y se hacen los cambios de variables 2 2 2 2 2 2
b) Rectas con pendiente e intersecci´ on con el eje y, iguales.) Rectas con pendiente e intersecci´ on con el eje y, iguales.
b
y = x 2 ,
′
y = x 1 ,
Respuesta: ydx − (x + 1)dy =0.ydx − (x + 1)dy =0. . .., y (n−1) = x n (4.5)
Respuesta:
5. VerificarVerificar las siguientes soluciones para la ecuaci´ on diferencial dada:
se observa que las siguientes soluciones para la ecuaci´ on diferencial dada:5.
a) a) y ′ y + y = tan(x), y = − cos(x) ln(sec(x) + tan(x)).+ y = tan(x), y = − cos(x) ln(sec(x) + tan(x)). (n)
′′′ ′′′
(n−1)
′
y = x = x 2 , y = x = x 3 , . .., y = x ′ = x n , y = x ′
′′
′
1 2 n−1 n
b) y = y, y = cosh(x) + senh(x).= y, y = cosh(x) + senh(x).
b) y
′′ ′′
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
6.
6. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
x ′ = x 2
1
a) tan (y)dy = sen (x)dx.(y)dy = sen (x)dx. x ′ 2 = x 3
3 3
2 2
a) tan
.
Respuesta: 3(tan(y) − y + c) = cos 3 3 . . − 3 cos(x).3 cos(x).
Respuesta: 3(tan(y) − y + c) = cos (x)(x) −
b) y(x 2 2 2 2 2 2 2 2 x ′ n−1 sujeta a y(2) = 1.sujeta a y(2) = 1.
b) y(x + y )dx + x(3x − 5y )dy =0+ y )dx + x(3x − 5y )dy =0
= x n
Respuesta: 2y − 2x y +3x =0.− 2x y +3x =0.
2
y en consecuencia 5 5 2 33
Respuesta: 2y
a 1
a 0
a n−1
c x = − + cos(x) cos(y)dy =0.(y))dx + cos(x) cos(y)dy =0. x n + f(t) (4.6)
′
c) (tan(x) − sen(x) sen(y))dx) (tan(x) − sen(x) sen
x 1 −
x 2 − . .. −
n
a n a n a n
Respuesta:
Respuesta: − ln(cos(x)) + cos(x) sen(y)= c− ln(cos(x)) + cos(x) sen(y)= c
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
d) y ln x ln ydx + dy =0.) y ln x ln ydx + dy =0.
d
Ejemplo 4.1
Respuesta: x ln x + ln[ln y]= x + c.x ln x + ln[ln y]= x + c.
Respuesta:
e) xdx +(y − 2x)dy =0.) xdx +(y − 2x)dy =0.
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
e
Respuesta: (x − y) ln(x − y)= y + c(x − y).(x − y) ln(x − y)= y + c(x − y).
Respuesta:
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′′
′
′′
f) (1 − xy) dx +[y + x (1 − xy) ]dy =0 sujeta a que cuando x =2, y =1.dx +[y + x (1 − xy) ]dy =0 sujeta a que cuando x =2, y =1.
−22
−22
2 2
2 2
f) (1 − xy)
−
−
Respuesta: xy − y +5xy − 3x =5.− y +5xy − 3x =5.
3 3
4 4
Respuesta: xy
a la forma normal.
g
+ Ri =Ri = E(t) sujeta a i(0) = i 0 , donde E, L y R son constantes. N´ otese que
di di
g) Resu´ elvase L) Resu´ elvase L
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on E(t) sujeta a i(0) = i 0 , donde E, L y R son constantes. N´ otese que+
dt dt
´ esta ecuaci´ on diferencial corresponde al modelo matem´ atico de un circuito RL en serie.ecuaci´ on diferencial corresponde al modelo matem´ atico de un circuito RL en serie.
´ esta
y ′ ′′ 1
y =
′′
h dv = g sujeta a v(x 0 )= v 0 .g sujeta a v(x 0 )= v 0 . 2 − 2y +3y + 2 sen(t)
dv
h) v) v
=
dx
dx
Respuesta: v − v =2g(x − x 0 ).− v =2g(x − x 0 ).
2 2
2 2
Respuesta: v
0 0
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
′
′′
dy
i) i) dy = = y y−x−x . .
dx
dx y+x
y+x

y y
′ 22
y = x = x 3 ,
′′′
′
Respuesta: ln(x + y ) + 2 arctan+ y ) + 2 arctan
=
Respuesta: ln(x 2 2 y = x = x 2 , ′′ = c.c. ′ 2 y = x ′ 3
1
x x
j) y(2x − xy + 1)dx +(x − y)dy =0.− xy + 1)dx +(x − y)dy =0.
2 2
j) y(2x
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
2 2
Respuesta: −xx . .
Respuesta: y(2x − y)= cey(2x − y)= ce
−
x 1 1
′
3 de modo que la siguiente ecuaci´ on diferencial sea exactade modo que la siguiente ecuaci´ on diferencial sea exacta
7. x = − 2x 2 +3x 3 + sen(t)
7. Determine una funci´ on M(x, y)Determine una funci´ on M(x, y)
2 2

1 1
xy
dy =0
M(x, y)dx + xe(x, y)dx + xe
+2xy +xy +
M xy +2 dy =0
x x
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 149
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
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