Page 147 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
′
′
Comportamiento de la carga q(t) y corriente i(t) en el circuito RLC
8 14
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-
n
d y a 0 a 1 a n−1 (n−1)
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on y − y − . .. − y + f(t) 12 (4.4)
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
′
7
dt n a n a n a n
se dice que es lineal si se verifica 10
6
y se hacen los cambios de variables
5 T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] 8 (5.3)
Carga q(t) 4 y = x 1 , y = x 2 , . .., y = x n 6 Corriente i(t) (4.5)
(n−1)
′
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la
se observa que
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es
4
3
igual a la combinacion lineal de las transformadas.
2 (n−1) 2 (n)
′
′
y = x = x 2 , y = x = x 3 , . .., y = x ′ = x n , y = x ′
′′
′
1 2 n−1 n
1 0
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales
5.3. Transformaciones
0 −2
0 0 0.5 x ′ 1 1 1 = x 2 1.5 2 2
0.5
1.5
′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
Las transformaciones integrales constituyen Tiempo (seg)
x
= x 3
2
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
.
.
Figura 5.11: Comportamiento de la carga q(t) y la corriente i(t) del circuito R−L−C [Elaboraci´ on propia].
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
x ′ = x n
transformacion integral general viene dada por n−1
alcanza su valor m´ aximo en aproximadamente 0.75 segundos y posteriormente se estabiliza en un valor de
y en consecuencia
10. Es decir, el capacitor seguir´ ′ a carg´ andose mientras circule una corriente; una vez cargado, la corriente

b
a 1
a 0
a n−1
(4.6)
x = − (t)] = x 2 − . .. − x n + f(t) (5.4)
n T[f
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
que circula en el circuito es cero. a n a a n a n
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
temente de la −st , se obtiene el
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′′
′
′′
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
define como y = y − 2y +3y + 1 sen(t)
′
′′
′′
2 b
2 ∞
L {f(t)} = F(s)= e −st f(t)dt = l´ım e −st f(t)dt. (5.5)
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
′
0
0
′′ b→∞
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
′′′
′
y = x = x 2 ,
′′
de s; de otra manera se dice que no 1 existe. y = x = x 3 , y = x ′ 3
′
′
2
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
5.4.1. Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}
x 1 1
sen(t)
x =
− 2x 2 +3x 3 +
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
′
3
2
2
2
t
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 147