Page 146 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte V: Transformada de Laplace Parte V: Transformada de Laplace

Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0Sustituyendo los valores de los par´ ametros se obtiene la siguiente ecuaci´ on diferencial
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
4.2.2.
tales que |f(t)|≤ Me para t>T.
ct
can´ onica di(t) 1
2 + 16i(t)+ q(t) = 300
dt
0.02
´
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el

16 dq(t)
d
dq(t)
300
50
q(t)=
+
+
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
2
dt
dt
2
2
dt
Laplace; por ejemplo, d q(t) dq(t)
posible.
2
dt 2 +8 dt + 25q(t) = 150 (5.60)
Ejemplo 4.2 L {f(t)} = F(s), L {g(t)} = G(s), L {y(t)} = Y (s)
Bajo las condiciones iniciales q(0) = 0 e i(0) = q (0) = 0, la transformada de Laplace es
′
Ejemplo 5.1 d q(t) dq(t)
Reducir el siguiente sistema:
2
L 2 +8L + 25L {q(t)} = 150L {1}
2
t
2
dt
Evaluar L {1}. dt (D − D + 5)x +2D y = e (4.7)
2 2 2 150
Soluci´ on: s Q(s) − sq(0) − q (0) + 8[sQ(s) − q(0)] + 25Q(s)= (4.8)
−2x +(D + 2)y =3t
′
s

b

−e
a la forma normal. ∞ Q(s)(s +8s 150 −st b
2
−st + 25) =

L {1} = e −st (1)dt = l´ım e (1)dt = l´ım s
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema b→∞ 0 b→∞ s 150

0
0
−e −sb + e −s·0 Q(s)= 2
= l´ım D x +2D y = e − 5x + Dx s(s +8s + 25) (4.9)
t
2
2
b→∞ s
Resolviendo por fracciones parciales 2 2 (4.10)
1
D y =3t +2x − 2y
= , ∀s> 0
s
150 A Bs + C
=
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9) + 2
2
s +8s
s
s(s +8s + 25)
→ 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e −sb+ 25
2
diverge. 150 = A(s +8s + 25) + s(Bs + C)
2
2
2
2
2
t
150 = (A + B)s + (8A + C)s + 25A
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que ∞ (4.11)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
2
t
2
0
Lo que al resolver devuelve los siguientes valores: A =6, B = −6 y C = −48. Sustituyendo estos
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo,
b
valores en Q(s) 0
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:

−st b
∞ −e 1
6
−st
L {1} = 6s + 48 t dt = 2 = , ∀s> 0
e
Q(s)= − Du = e − 6t − 9x +4y + u
s
s

s s +8s + 25 0
0
2
2
−sb 24
6 Dv =3t +2x − 2y
6(s +4)+
en donde se entiende que el l´ ımite superior e → 0 cuando b →∞ para s> 0.
=
−
2
s (s + 4) +9
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Ejemplo 5.2
= 6 − 6(s + 4) 2 − 8 · 3 2
2
(s + 4) +3
2
Dx = u
Evaluar L {t}. s (s + 4) +3

1 s 3
Soluci´ on: =6 Dy = v − 8
− 6
2
2
s s +3 ∞ s +3 2 s=s+4
2
s=s+4
−st
tdt
L {t} =
e
t
2
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0
Aplicando la transformada inversa de Laplace para encontrar q(t) e i(t)
2
Dv =3t +2x − 2
1 −st
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e −st dt y v = − e
s
3t
q(t)= 6 − 6e −4t cos 3t − 8e −4t sen −st −st ∞ (5.61)
−st ∞
∞ te 1 ∞ te e
L {t} = e −st tdt = − dq(t) + −4t e −st dt = − − 2
s
s
0 i(t)= dt 0 = 50e 0 sen 3t s s 0 (5.62)
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados e −s·∞ 0 · e −s·0 e −s·0
∞· e
−s·∞
=
En la figura 5.11 se muestra el comportamiento de la carga s 2 q(t) y corriente i(t) obtenidas mediante las
−
−
− −
−
2
s
s
s
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
ecuaciones (5.61) y (5.62), respectivamente. La corriente alcanza su valor m´ aximo en aproximadamente
1
,
=
a 0.25 segundos, y posteriormente empieza a ∀s> 0 .
la forma normal son degenerados o degradados decrementarse hasta alcanzar un valor de cero. La carga
2
s
146 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May