Page 144 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte V: Transformada de Laplace Parte V: Transformada de Laplace

Caso Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0
4.2.2.escalar homog´ eneo ˙x = ax
tales que |f(t)|≤ Me para t>T.
ct
can´ onica
Si se aplica la transformada de Laplace a la ecuaci´ on diferencial lineal escalar homog´ enea ˙x = ax se
´
tiene
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
L { ˙x} = aL {x}
Laplace; por ejemplo, sX(s) − x(0) = aX(s)
posible.
Ejemplo 4.2 L {f(t)} = F(s), (s − a)X(s)= x(0) L {y(t)} = Y (s)
L {g(t)} = G(s),
x(0)
Reducir el siguiente sistema: X(s)=
Ejemplo 5.1 s − a
Tomando la transformada inversa de 2 Laplace de la ecuaci´ on anterior (4.7)
t
2
Evaluar L {1}. (D − D + 5)x +2D y = e

1
2
2
−2x +(D + 2)y =3t
Soluci´ on: L −1 {X(s)} = x(0)L −1 s − a (4.8)
at

b
a la forma normal. ∞ x(t)= e x(0) −e −st b

L {1} = e −st (1)dt = l´ım e −st (1)dt = l´ım
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema b→∞ 0 b→∞ s 0
0
˙
−sb
+ e
−e
Caso matricial homog´ eneo X = AX −s·0
= l´ım D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
t
2
2
b→∞ s
˙
Aplicando la transformada de Laplace a la 2 ecuaci´ on diferencial lineal matricial homog´ enea X = AX,
1
2
(4.10)
D y =3t +2x − 2y
=
∀s> 0
,
considerando las condiciones iniciales en t =0, X(0), se tiene
s
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
˙
L {X} = AL
→ 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e −sb {X}
diverge. sX(s) − X(0) = AX(s)
2
2
2
2
t
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
(sI − A)X(s)= X(0)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que ∞ (4.11)
2
t
2
−1
0
X(s)= (sI − A) X(0)
b
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo,
0
La transformada inversa de Laplace de la ecuaci´ on anterior
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:

−st b
∞ −e 1

−st
−1
t dt =
{X
L
= , ∀s> 0
2

L {1} =(s)} e= L −1 (sI − A) −1 X(0)
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0 At s 0 s
X(t)=
2 e X(0)
Dv =3t +2x − 2y
en donde se entiende que el l´ ımite superior e −sb → 0 cuando b →∞ para s> 0.
−1
donde e At = L −1 {(sI − A) }, como se vi´ o en la secci´ on 4.4 de la Parte IV. En el caso donde las
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Ejemplo 5.2
condiciones iniciales se den en t = t 0 ̸=0, se aplicar´ a la soluci´ on (4.57)
Evaluar L {t}. Dx = u A(t−t 0 ) X(t 0 ) (5.56)
X(t)= e
Soluci´ on: Dy = v

∞
˙
−st
L {t} =
e
2
t
Caso matricial no homog´ eneo X = AX + F(t) tdt
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0
2
Dv =3t +2x − 2
˙
1 −st
−st
dt y v = − e
Aplicando la transformada de Laplace a la ecuaci´ on diferencial lineal
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e matricial no homog´ enea X =
s
AX + F(t) considerando te −st ∞ 1 ∞ te −st e −st ∞
∞ las condiciones iniciales en t =0, X(0), se tiene

L {t} = e −st tdt = − + e −st dt = − − 2
˙
s
0 {X} +

0 L {X} = AL s 0L {F(t)} s s 0
−s·0 −s·0
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados F(s) −s·∞ 0 · e e
e
∞· e
−s·∞
sX(s) − X(0) =
− AX(s)+
=
s − s 2 − − s − s 2
(sI − A)X(s)= X(0) + F(s)
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
1
= , ∀s> 0 . −1
−1
X(s)= (sI
la forma normal son degenerados o degradados− A) X(0) + (sI − A) F(s)
s
2
144 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May