Page 143 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:de X(s) es:
que tiene como soluci´ on A = − y B = . Por lo tanto, la transformada inversa
1
1
′
′
3 3
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-
n
d y a 0 a 1 a n−1 (n−1)

1
1
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on 1 y − y − . .. − y 1 + f(t) −1 1 (4.4)
′
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
−1
−1
x(t)= L dt n a n a n = − L a n + L
(s + 2)(s − 1)
se dice que es lineal si se verifica 3 s +2 3 s − 1
1 1
y se hacen los cambios de variables t
−2t
x(t)= − e + e
3
3 T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] (5.3)
′
y = x 1 , y = x 2 , . .., y (n−1) = x n (4.5)
Se procede de la misma forma para hallar y(t) a partir de la funci´ on Y (s), la cual se obtiene combinando
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la
X(s) en (5.54)
se observa que
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es
igual a la combinacion lineal de las transformadas.
s +1
′
′′
y = x = x 2 , y = x = x 3 , . .., 1 y (n−1) = x ′ n−1 = x n , y (n) = x ′ n
′
′
=
1 Y (s)=(s + 1)X(s)=(s + 1)
2
(s + 2)(s − 1) (s + 2)(s − 1)
5.3. Transformaciones
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales
Expandiendo por fracciones parciales:
x ′ 1 = x 2
Las transformaciones integrales constituyen x ′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
s +1 2 E = x 3 F
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
.
+
=
.
(s + 2)(s − 1) s +2 s − 1
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
s +1 x E(s − 1) + F(s + 2)
′
= x n
transformacion integral general viene dada por = n−1 (s + 2)(s − 1)
(s + 2)(s − 1)
y en consecuencia
s +1 b = (E + F)s +(−E +2F)
a 0
a 1
a n−1
(4.6)
′
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
n T[f
x = − (t)] = x 2 − . .. − x n + f(t) (5.4)
a n a n a n
a
De donde se obtiene el sistema de ecuaciones
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
temente de la −st , se obtiene el
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
E + F =1
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
−E +2F =1
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′′
′′
′
2
cuya soluci´ on es E = 1 y F = . Por lo tanto, la transformada inversa de Y (s) es:
3 3
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
a la forma normal.
1
s +1
2
−1
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on = L −1 1 + L −1 1
y(t)= L
s +2
s − 1
(s + 2)(s − 1)
3
3
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
1 2 y 1
define como y(t)= e −2t + e t y = − 2y +3y + sen(t)
′′
′
′′
3 3 2 b
2 ∞
L {f(t)} = F(s)= e −st f(t)dt = l´ım e −st f(t)dt. (5.5)
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
′
0
′′ b→∞
0
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
′
′
de s; de otra manera se dice que no ′ 1 existe. y = x = x 3 , y = x ′ 3
′′
′′′
y = x = x 2 ,
2
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Soluci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales de primer or-
5.18. Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}
5.4.1.
1
den (Forma can´ onica)
x 1
− 2x 2 +3x 3 +
x =
sen(t)
′
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
3
2
2
2
t
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
˙
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .= AX + F.
En la Parte IV, se resolvieron sistemas lineales en la forma normal o can´ onica X
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 143