Page 142 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte V: Transformada de Laplace Parte V: Transformada de Laplace

4.2.2.
Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0
Soluci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
5.17. Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
tales que |f(t)|≤ Me para t>T.
ct
can´ onica
Cuando se especifican condiciones iniciales, la transformada de Laplace reduce un sistema de ecua-
´
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
ciones diferenciales lineales de coeficientes constantes a un conjunto de ecuaciones algebraicas simult´ aneas
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
en las funciones transformadas.
Laplace; por ejemplo,
posible.
Ejemplo 5.33
Ejemplo 4.2 L {f(t)} = F(s), L {g(t)} = G(s), L {y(t)} = Y (s)
Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
Reducir el siguiente sistema: dx
Ejemplo 5.1 = −x + y (5.52)
dt 2 t
(4.7)
2
dy
Evaluar L {1}. (D − D + 5)x +2D y = e (5.53)
=2x
2
dt
Soluci´ on: −2x +(D + 2)y =3t 2 (4.8)
sujeta a x(0) = 0 y y(0) = 1. ∞ b −st b

a la forma normal.
−st
−st
Soluci´ on: Aplicando transformada de eLaplace a la ecuaci´ on (5.52) −e
L {1} =
(1)dt = l´ım
(1)dt = l´ım
e
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema b→∞ 0 b→∞ s 0
0
−sb
−s·0
+ e
−e sX(s) − x(0) = −X(s)+ Y (s)
= l´ım D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
2
2
t
s
b→∞
sX(s)+ X(s) − Y (s)= 0
2
2
1 D y =3t +2x − 2y (4.10)
,
= (s + 1)X(s) − Y (s)= 0 (5.54)
∀s> 0
s
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
−sb (5.53)
Ahora y aplicando la transformada de Laplace a la ecuaci´ on
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e → 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
diverge. sY (s) − y(0) = 2X(s)
2
t
2
2
2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
sY (s) − 2X(s)= 1
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que ∞ (4.11)
t
2
2
−2X(s)+ sY (s)= 1 0 (5.55)
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo,
b
0
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Las ecuaciones (5.54) y (5.55) constituyen el sistema de ecuaciones. Multiplicando (5.54) por s y resol-

∞ −e −st b 1

viendo para X(s) L {1} = e −st 2 = , ∀s> 0
t dt =
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0 s 0 s
2
s[(s + 1)X(s) − Y (s)]+(−2X(s)+ sY (s))
Dv =3t +2x − 2y = 1
en donde se entiende que el l´ ımite superior e −sb → 0 cuando b →∞ para s> 0.
2
(s + s − 2)X(s)= 1
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Ejemplo 5.2
X(s)= 2 1 = 1
Evaluar L {t}. Dx = u s + s − 2 (s + 2)(s − 1)
Expandiendo por fracciones parciales:
Soluci´ on:
Dy = v

∞
1 L {t} = 2 A e −st B
tdt
t
Du = e − 6t − 9x +4y + u
+
=
0
(s + 2)(s − 1) 2 s +2 s − 1
Dv =3t +2x − 2
1 −st
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e −st dt y v = − e
1
A(s − 1) + B(s + 2)
= s
(s + 2)(s − 1) (s + 2)(s − 1)

−st ∞ −st −st ∞
∞ te 1 ∞ te e
−st
+
L {t} = e −st tdt = − 1= (A + B)s e+(−A +2B) − 2
dt = −

0 s 0 s 0 s s 0
−s·0 −s·0
4.2.3.
Sistemas degenerados o degradados
De donde se obtiene el sistema de ecuaciones ∞· e −s·∞ e −s·∞ 0 · e e
=
−
s − s 2 − − s − s 2
A + B =0
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
1
= , ∀s> 0 .
la forma normal son degenerados o degradados +2B =1
2 −A
s
142 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May