Page 141 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.
Multiplicando (5.50) por 2 y resolviendo con (5.51) se tiene
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
′
′
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-
n
2(A
d y + B)+(−3A − 2B)= 2 − 1
a 1
a 0
a n−1 (n−1)
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on y − y − . .. − y + f(t) (4.4)
′
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
dt n a n a n a n
se dice que es lineal si se verifica −A =1 ⇒ A = −1
y se hacen los cambios de variables
Con este valor de A, el valor de B =1 − A =2. Conocidos los valores de las constantes, se aplica la
T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] (5.3)
transformada inversa de Laplace a la expansi´ (n−1)
′ on de la funci´ on de transferencia. Esto es
y = x 1 , y = x 2 , . .., y = x n (4.5)

para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la

1
1
s − 1
−1
−1
−1
−1
+2L
y(t)= L
{Y (s)} = L
= −L
se observa que
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es
s − 3
s − 2
(s − 3)(s − 2)
igual a la combinacion lineal de las transformadas. 2t 3t
y(t)= −e +2e
′
′
y = x = x 2 , y = x = x 3 , . .., y (n−1) = x ′ = x n , y (n) = x ′
′
′′
1 2 n−1 n
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales
5.3. Transformaciones
Ejemplo 5.32 x ′ = x 2
Las transformaciones integrales constituyen 1 ′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
x
Resolver y − 6y +9y = t e con y(0) = 2, y (0) = 6.
2 3t
= x 3
′
′′
2
′
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
.
.
Soluci´ on: Se aplica la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuaci´ on diferencial y se despeja
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
Y (s) x ′ n−1 = x n
transformacion integral general viene dada por
y en consecuencia 2 3t
′
′′
L {y }− 6L {y } +9L {y} = L {t e }
b
a 0 a 1 a n−1
(4.6)
′
n T[f
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
x = − (t)] = x 2 − . .. − x n + f(t) (5.4)
2 2 2
s Y (s) − sy(0) − y (0) − 6[sY a a ny(0)] + 9Y (s)= L {t } s=s−3 =
′
a n
a n (s) −
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal. s 3 s=s−3
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
2
2
s Y (s) − 2s − 6 − 6sY (s) − 12+9Y (s)=
temente de la (s − 3) 3 −st , se obtiene el
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace. 2

2
s − 6s +9 Y (s) − 2s +6 =
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden (s − 3) 3
s − 6s +9 Y (s)= 2 + 2(s − 3)

2
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
′
′′
2y − 6y +4y − y = sen(t) (s − 3)
3
′′
2 2
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
a la forma normal. Y (s)= (s − 3) 5 + s − 3
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on
Se puede observar que el primer t´ ermino de Y (s) no necesita la expansi´ on en fracciones parciales, puesto
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
que tiene una forma inversa del primer teorema de traslaci´ on. Entonces se realizan las manipulaciones
y
1
define como y = − 2y +3y + sen(t)
′
′′
′′
2 ∞ exacta de transformada inversa en la Tabla 5.2.
algebraicas necesarias para encontrar una forma 2 b

f(t)dt = l´ım
L {f(t)} = F(s)= e −st e −st (5.5)
f(t)dt.
1
1
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
0
0
′
′′ b→∞
−1
−1
−1
y(t)= L
{Y (s)} =2L
+2L
(s − 3)
5
s − 3
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor

1
′′
′
y = x = x 2 ,
′
de s; de otra manera se dice que no 1 existe. y = x = x 3 , +2L −1 ′ 3 1
y = x
′′′
′
−1
=2L
2
s 5 s=s−3 s − 3

3t
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
1
4!
e
−1
5.4.1. Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}
−1
+2L
L
=2 ·
4! s 4+1 s − 3
x 1 1 1
− 2x 2 +3x 3 +
x =
sen(t)
′
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
4 3t
3t
y(t)=
t e +2e
3
2
2
12
2
t
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 141
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May