Page 140 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte V: Transformada de Laplace Parte V: Transformada de Laplace

Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
4.2.2.
Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0
tales que |f(t)|≤ Me para t>T.
ct
can´ onica
´
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
Ecuaci´ on Diferencial
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
Original
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
Laplace; por ejemplo,
posible.
L
Ejemplo 4.2 L {f(t)} = F(s), L {g(t)} = G(s), L {y(t)} = Y (s)

Reducir el siguiente sistema: Ecuaci´ on Diferencial
Ejemplo 5.1 Transformada
2
2
Evaluar L {1}. (D − D + 5)x +2D y = e t Operaciones algebraicas en el (4.7)
2
2
Soluci´ on: −2x +(D + 2)y =3t dominio de la variable s (4.8)

b

a la forma normal. ∞ Resoluci´ on de la Ecuaci´ −e −st b
−st on

L {1} = e −st (1)dt = l´ım e (1)dt = l´ım
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema Transformada 0 b→∞ s 0
b→∞
0
−e −sb + e −s·0 −1
2 L
= l´ım D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
2
t
b→∞ s

2
1 D y =3t +2x − 2y (4.10)
2
= , ∀s> 0
s Soluci´ on de la
Ecuaci´ on Diferencial Original
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e −sb → 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
Figura
diverge. 5.9: Aplicaci´ on de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales [Elaboraci´ on
t
2
2
2
2
propia]. (D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que ∞ (4.11)
t
2
2
0
b
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo,
Se eval´ ua la condici´ on inicial y se realizan las operaciones algebraicas para obtener alguna forma cono-
0
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
cida de transformada inversa de Laplace

∞ −e −st b 1

L {1} = e −st 2 = , ∀s> 0
t dt =
1
Du = e − 6t − 9x +4y + u
sY (s) − (1) − 3Y (s)= 0 s 0 s
s − 2 Dv =3t +2x − 2y
2
→ 0 cuando b →∞ para s> 0.
−sb
en donde se entiende que el l´ ımite superior e(s − 2)+1 s − 1
1
(s − 3)Y (s) = 1+ = =
s − 2
s − 2
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal s − 2
Ejemplo 5.2
s − 1
Y (s)= ⇐ Resolver con fracciones parciales
Dx = u
Evaluar L {t}. (s − 3)(s − 2)
La funci´ Dy = v
Soluci´ on: on Y (s) tiene factores lineales distintos, por lo que la expansi´ on en fracciones parciales queda
∞
como Du = e − 6t − 9x +4y + u
−st
e
L {t} =
tdt
2
t
0
s − 1 A 2 B A(s − 2) + B(s − 3)
+
Dv =3t +2x − 2 =
=
1 −st
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e −st dt y v = − e
(s − 3)(s − 2) s − 3 s − 2 (s − 3)(s − 2) s

s − 1 (A + B)s +(−3A − 2B) −st −st ∞
−st ∞
∞ te 1 ∞ te e
=
L {t} = e −st tdt = − + e −st dt = − −
(s − 3)(s − 2) s (s − 3)(s − 2) s s 2
s
0 0 0 0

de donde se encuentra el sistema de ecuaciones −s·∞ e −s·∞ 0 · e −s·0 e −s·0
4.2.3.
∞· e
Sistemas degenerados o degradados
=
−
s − s 2 − − s − s 2
(5.50)
A + B =1
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
1
= , ∀s> 0 .
2−3A
la forma normal son degenerados o degradados − 2B = −1 (5.51)
s
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
140 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May