Page 139 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Determinar
donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
′
′

1
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-
−1
L
n
d y a 0 a 1(s − 1)(s + 4)
a n−1 (n−1)
′
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on y − y − . .. − y + f(t) (4.4)
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
n
dt
{F(s)G(s)}.
−1
empleando f ∗ g = L
se dice que es lineal si se verifica a n a n a n
Soluci´ on: Se podr´ ıa usar expansi´ on
y se hacen los cambios de variables en fracciones parciales y resolver mediante el m´ etodo que se ha visto
T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)]
anteriormente. Sin embargo, la transformada de Laplace se puede rescribir como (5.3)
y = x 1 , y = x 2 , . .., y (n−1) = x n (4.5)
′

1
1
1
1
1
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la
= ⇒ F(s)= y G(s)=
s − 1
s +4
s − 1
s +4
se observa que (s − 1)(s + 4)
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es
igual a la combinacion lineal de las transformadas.
Obteniendo f(t) y g(t), respectivamente:
′
′
y = x = x 2 , y = x = x 3 , . .., y (n−1) = x ′ = x n , y (n) = x ′
′′
′
1 2 n−1 n
1 t −1 −1 1 −4t
−1
−1
{F(s)} = L
f(t)= L
5.3. Transformaciones s−1 = e ,g(t)= L {G(s)} = L s+4 = e
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales
Entonces, x ′ 1 = x 2
Las transformaciones integrales constituyen x ′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
= x 3
2
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera t . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o

.
1
L −1 = . f(τ)g(t − τ)dτ
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
(s − 1)(s + 4)
x ′ 0 = x n
transformacion integral general viene dada por n−1 t t −4(t−τ) −4t t 5τ
y en consecuencia = e e dτ = e e dτ
b 0 0
a 0 a 1 5τ t −4t
a n−1
(4.6)
e
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s) e
′
n T[f
x = − (t)] = x 2 − . .. − x n + f(t) (5.4)
t
−4t

a n a n = e a n = (e − 1)
a 5 5
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal. 0
1
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
−4t
t
)
=
(e − e
temente de la 5 −st , se obtiene el
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
′′
′′
′
2y − 6y +4y − y = sen(t)
5.16. Soluci´ on de ecuaciones diferenciales de orden superior
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
a la forma normal.
El procedimiento para resolver una ecuaci´ on diferencial aplicando el m´ etodo de la transformada de
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
Laplace se ilustra en el siguiente diagrama de bloques de la figura 5.9.
define como y = y − 2y +3y + 1 sen(t)
′′
′′
′
Ejemplo 5.31 2 b
2 ∞
L {f(t)} = F(s)= e −st f(t)dt = l´ım e −st f(t)dt. (5.5)
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
Resolver 0 ′ ′′ b→∞ 0
dy
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
− 3y = e 2t
y = x = x 2 , dx
′
′
′′′
′
de s; de otra manera se dice que no 1 existe. y = x = x 3 , y = x ′ 3
′′
2
con y(0) = 1.
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Soluci´ on: Se aplica la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuaci´ on diferencial
5.4.1. Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}
x 1 1
dy
sen(t)
− 2x 2 +3x 3 +
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
′
x = 2t
− 3L {y} =
L
3 L {e }
dx 2 2 2
t
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
1
⇐ Ecuaci´ on Diferencial Transformada
(sY (s) − y(0)) − 3Y (s)=
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .
s − 2
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz Mayandez, Dr. L. de la Cruz May 139
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´