Page 138 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte V: Transformada de Laplace Parte V: Transformada de Laplace

Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0Soluci´ on: Se realizan ciertas manipulaciones algebraicas
4.2.2.
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
tales que |f(t)|≤ Me para t>T.
ct

can´ onica s s s
L −1 = L −1 = L −1
2
2
´
(s +6s +9)+ 2
(s + 3) +2
2
s +6s + 11
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el

s +3
3
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
−1
= L
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
−
2
2
Laplace; por ejemplo, (s + 3) +2 (s + 3) +2 √
posible.

3
= L −1 s − √ L −1 2
Ejemplo 4.2 L {f(t)} = F(s), L {g(t)} = G(s), 2 (s + 3) 2
2
s +2

s=s−3 L {y(t)} = Y (s) +2 s=s−3
√ 3e −3t √
Reducir el siguiente sistema: = e −3t cos sen 2t
Ejemplo 5.1 2t − √
2
√ 2 3 t √ (4.7)
2
(D − D + 5)x +2D y = e
Evaluar L {1}. = e −3t cos 2t − √ sen 2t
2
2
Soluci´ on: −2x +(D + 2)y =3t 2 (4.8)

a la forma normal. ∞ b −e −st b

L {1} = e −st (1)dt = l´ım e −st (1)dt = l´ım
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema b→∞ 0 b→∞ s 0
0
−s·0
−sb
−e
+ e
Forma inversa del segundo teorema de traslaci´ on t
=
l´ım
2
2
s
b→∞ D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
1 D y =3t +2x − 2y (4.10)
2
2
= , ∀s> 0
s f(t − a)u(t − a)= L −1 e −as F(s)
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
→ 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e −sb s=s−a .

−1
−1
{F(s)} y f(t − a)= L
donde a> 0, f(t)= L
F(s)|
diverge.
Ejemplo 5.29
2
t
2
2
2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que
Hallar D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
2
t
(4.11)
2
∞
0
π s
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo,
b
e 2
−1
L
0
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
2
s +9

−st b
∞ −e 1
Soluci´ on: Se realizan ciertas manipulaciones −st 2 = , ∀s> 0
e algebraicas
L {1} =
t dt =
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0 s 0 s
π 2
s
Dv =3t +2x − 2y π 1
e 2
−1
s
−1
en donde se entiende que el l´ ımite superior e −sb → 0 cuando b →∞ para s> 0.
L
= L
e 2 ·
2
2
s +9 s +9
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Ejemplo 5.2

1
π
3
1
Sea f(t)= L −1 s +3 2 con a = , entonces f(t − a)= sen 3 t − π 2 . Por lo tanto,
2
3
3
2
Evaluar L {t}. Dx = u
π s
Soluci´ on: −1 e 2 1 Dy = v π 1 3 π
π
L = sen 3 t − u ∞ t − == sen 3t − π u t −
s +9 3 t 2 2 −st 2 3 2 2
2
e
tdt
L {t} =
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0
2
Dv =3t +2x − 2
1 −st
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e −st dt y v = − e
s

−st ∞ −st −st ∞
∞ −st te 1 ∞ −st te e
e
L {t} =
Forma inversa del teorema de convoluci´ on + s e dt = − s − s 2
tdt = −
s
0 0 0 0
−s·0 −s·0
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados − e −s·∞ − − 0 · e − e
∞· e
−s·∞
En algunas ocasiones el teorema
= de convoluci´ on es ´ util para encontrar la transformada inversa de
−
s
Laplace en el producto de dos transformadas de Laplace. s 2 s s 2
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
1
,
=
la forma normal son degenerados o degradados ∀s> 0 .
Ejemplo 5.30
s
2
138 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May