Page 137 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.partir de donde se obtiene el sistema de ecuaciones
A Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
′
′
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-
n
d y A a 0 + D =0 a n−1 (n−1) (5.45)
a 1
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on y − y − . .. − y + f(t) (4.4)
′
dt n B + E =0 a n (5.46)
a n
a n
se dice que es lineal si se verifica
y se hacen los cambios de variablesA +4C =0 (5.47)
3
(5.3)
T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] (5.48)
4B =3 −→ B =
′
y = x 1 , y = x 2 , . .., 4 y (n−1) = x n (4.5)
1
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la
(5.49)
4A = −2 −→ A = −
2
se observa que
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es
1
3
1
Sustituyendo (5.48) y (5.49) en las restantes ecuaciones se obtiene C = − , E = − y D = − .
igual a la combinacion lineal de las transformadas. 8 4 8

′
′
′
′′
y 1
y = x = x 2 , 2 y = x = x 3 , 1 . .., (n−1) = x ′ = x n , 1 y (n) = x ′ n
13s −
n−1 −1
2 −1
L −1 = AL + BL −1 + CL +
s (s + 4) s 3 s 2 s
2
3
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales
5.3. Transformaciones s 1
DL −1 + EL −1
2
2
s +4 = x 2 s +4
x
′
1
Las transformaciones integrales constituyen 1 x ′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el

1
3
1
1
1
= x 3 −1
= − L −1 2 + L + L −1 −
. una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
2
s
3
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera 4 s 2 8 s
.
.

infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
1
s
3
1
−1
−1
L x ′ n−1 = x n L
−
s +4
2
8
transformacion integral general viene dada por 2 4 s +4
y en consecuencia 1 1 2! 3 1! 1
1
b
= − · L −1 2+1 + L −1 1+1 + L −1 −
a 1
2 2!
s
a n−1
s
a 0
(4.6)
′
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
x = − (t)] = x 2 − . .. − 4 x n + f(t) 8 s (5.4)
n T[f
a n
1 a n a s 3 1 a n 2
L −1 2 2 − · L −1 2 2
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal. 4 2
s +2
8
s +2
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
1 3 1 1 3
temente de la = − t + t + − cos(2t) − sen(2t) −st , se obtiene el
2
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
4 4 8 8 8
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
′
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′′
′′
5.15.4. Formas inversas de los teoremas de traslaci´ on, del teorema de convoluci´ on
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
a la forma normal.ada de una transformada
y deriv
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on
Enseguida se muestra la forma inversa de algunos teoremas importantes y su aplicaci´ on se muestra
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
mediante ejemplos. y = y − 2y +3y + 1 sen(t)
define como
′′
′′
′
2 b
2 ∞
L {f(t)} = F(s)= e −st f(t)dt = l´ım e −st f(t)dt. (5.5)
Forma inversa del primer teorema de traslaci´ on ′ ′′ b→∞ 0
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
0
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
y = x = x 2 ,
′
′′
de s; de otra manera se dice que no 1 existe. y = x = x 3 , y = x ′
′′′
′
′
−1
at
−1
2
3
e f(t)= L {F(s − a)} = L F(s)|
s=s−a
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
donde f(t)= L −1 {F(s)}.
5.4.1. Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}
Ejemplo 5.28 x 1 1
− 2x 2 +3x 3 +
x =
sen(t)
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
′
3
Hallar t 2 2 2
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f

s
−1
L
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .
2
s +6s + 11
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ 137