Page 136 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte V: Transformada de Laplace Parte V: Transformada de Laplace

Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0reduce el n´ umero de variables y ecuaciones, realizando la suma de las ecuaciones (5.37) y (5.38)
Se Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
4.2.2.
tales que |f(t)|≤ Me para t>T.
ct
can´ onica (A + B + C)+(4A + B − C) = 0+2
´
(5.40)
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar
5A +2B =2
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
y multiplicando por 2 la ecuaci´ on (5.37) y sumando a (5.39)
Laplace; por ejemplo,
posible.
2(A + B + C)+(3A − 6B − 2C)= 2 · 0+4
Ejemplo 4.2 L {f(t)} = F(s), L {g(t)} = G(s), L {y(t)} = Y (s) (5.41)
5A − 4B =4
Ahora restando (5.40) de (5.41) se tiene
Reducir el siguiente sistema:
Ejemplo 5.1
(5A +2B) 2− (5A − 4B)= 2 − 4 t (4.7)
2
(D − D + 5)x +2D y = e
Evaluar L {1}. 1
(4.8)
2
6B = −2 −→ B = −
Soluci´ on: −2x +(D + 2)y =3t 2 3 (5.42)
Sustituyendo (5.42) en (5.40) b −st b

a la forma normal. ∞ −e
(1)dt = l´ım
L {1} = e −st e −st (1)dt = l´ım

Soluci´ on: Reescribiendo el sistema 1 b→∞ 0 b→∞ s
0
5A +2 − =2 0
−e −sb 3 + e −s·0
= l´ım D x +2D y = e − 5x + Dx 8 (4.9)
2
8
2
2
t
s
b→∞ 5A = 2+ = −→ A = (5.43)
2 3
3
1 D y =3t +2x − 2y 15 (4.10)
2
,
=
∀s> 0
Se obtiene el valor de C sustituyendo (5.42) y (5.43) en (5.37)
s
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9) 8 1 3 1
→ 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e −sb = − = − (5.44)
C = −A − B = −
− −
15 3 15 5
diverge.
Por lo tanto,
2 2 2 t 2

(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y) 1

1
2s +4
1
−1
−1
−1
2 AL
2 + BL
=
L
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que + CL −1 s +3 ∞ (4.11)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
t
2
s − 2
s +1
(s − 2)(s +4s + 3)
0
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo, 1 1 1 1 1
b

0 8
−1
−1
−1
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
− L
L
− L
=
15 s − 2 −st b 3 s +1 5 s +3

∞ −e 1
−st
= , ∀s> 0
L {1} = = 8 e 2t t dt = 1 2 −t 1 −3t
Du = e − 6t − 9x +4y + u
e − e
0 15 3 s − e 0 s
5
2
Dv =3t +2x − 2y
en donde se entiende que el l´ ımite superior e −sb → 0 cuando b →∞ para s> 0.
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Ejemplo 5.2
Ejemplo 5.27
Evaluar L {t}. Dx = u
Hallar
Soluci´ on: Dy = v −1 3s − 2
L
∞
2
s (s +
−st 4)
3
L {t} =
e
tdt
2
t
Du = e − 6t − 9x +4y + u
Soluci´ on: El polinomio del denominador cuenta 0 con factores lineales repetidos y uno cuadr´ atico. Al
2
Dv =3t +2x − 2
1 −st
aplicar la expansi´ on en fracciones parciales se tiene −st dt y v = − e
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e
s
C

3s − ∞ 2 −st = A + B te −st ∞ Ds + E te −st e −st ∞
1
∞
+
+

s
s
L {t} =2 e tdt = − 2 s +2 e −st dt = − − 2
3
3
s +4
s (s + 4)
0 s 0 s 0 s s 0
2
3
3s − 2 A(s +4)+ Bs(s 2 2 2 −s·0 −s·0
−s·∞ +4)+ Cs (s +4)+ s (Ds + E)

∞· e
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados e −s·∞ 0 · e e
=
3
2
3
2
s (s + 4) = − − s (s + 4) − − −
s s 2 s s 2
2
3
4
3
4
2
3s − 2= As +4A + Bs +4Bs + Cs +4Cs + Ds + Es
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
1
= ,4 ∀s> 0 .3 2
3s − 2= (C + D)
la forma normal son degenerados o degradados + E)s +(A +4C)s +4Bs +4A
2s +(B
s
136 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May