Page 135 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.realizan las manipulaciones algebraicas necesarias:
se Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
′
′

Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-

5
3s +5
3s
n
d y
−1
+
a 1
L
= L
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
′
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on a 0 −1 y − s + y − . .. − a n−1 (n−1) + f(t) (4.4)
y √ 2
√ 2
2
s +7
7
2
s +
2
n
7
dt
se dice que es lineal si se verifica a n a n a n √
7
5
y se hacen los cambios de variables −1 s + √ L −1 √ 2
=3L
√ 2
7
2
2
7
s +
T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] s + 7 (5.3)

′
√
y

y = x 1 , y = x 2 , 5 . .., √ 7t (n−1) = x n (4.5)
7t + √ sen
= 3 cos
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la
7
se observa que
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es
igual a la combinacion lineal de las transformadas.
′
y = x = x 2 , y = x = x 3 , . .., y (n−1) = x ′ n−1 = x n , y (n) = x ′ n
′′
′
′
1
2
5.15.3. Aplicaci´ on de la t´ ecnica de fracciones parciales para calcular transforma-
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales
5.3. Transformaciones
das inversas de Laplace
x ′ 1 = x 2
Se aplican fracciones parciales en tres casos b´ asicos, por ejemplo:
Las transformaciones integrales constituyen
′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
x
= x 3
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera
.
1
i) F(s)= (s−5)(s−6)(s−7) 2 . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
.
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
ii) F(s)= s+1 x ′ n−1 = x n
transformacion integral general viene dada por
2
2
s (s+2)
y en consecuencia
iii) F(s)= 3s−2
2
3
s (s +4) a 0 b a 1 a n−1
(4.6)
′
x = − (t)] = x 2 − . .. − x n + f(t) (5.4)
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
n T[f
contienen respectivamente, factores lineales distintos, factores a n lineales repetidos y un factor cuadr´ atico
a n
a n
a
irreducible (no tiene ra´ ıces reales).
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
Ejemplo 5.26
temente de la −st , se obtiene el
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.
Hallar
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
2s +4
L −1 (s − 2)(s +4s + 3)
2
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
′
′′
′′
2y − 6y +4y − y = sen(t)
Soluci´ on: El polinomio del denominador cuenta con factores lineales, puesto que
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
a la forma normal. (s − 2)(s +4s + 3)=(s − 2)(s + 1)(s + 3)
2
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on
Al aplicar la expansi´ on en fracciones parciales se tiene
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
y
A
C
B
define como 2s +4 = y = + − 2y +3y + 1 sen(t)
+
′′
′
′′
2
(s − 2)(s +4s + 3) s − 2 2 ∞ s +1 s +3 2 b

−st
−st
e
f(t)dt = l´ım
e
f(t)dt.
L {f(t)} = F(s)=
2s +4 A(s + 1)(s +3)+ B(s − 2)(s +3)+ C(s − 2)(s + 1) (5.5)
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
=
0
′
′′ b→∞
0
2
(s − 2)(s +4s + 3)
(s − 2)(s +4s + 3)
2
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
2
2
2
2s +4 ′ = A(s +4s +3)+ B(s + s − 6) + C(s − s − 2)
′′′
′
de s; de otra manera se dice que no 1 existe. y = x = x 3 , y = x ′ 3
y = x = x 2 ,
′′
′
2
2
2s +4 = (A + B + C)s + (4A + B − C)s + (3A − 6B − 2C)
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
de donde se obtiene el sistema de ecuaciones
5.4.1.
Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}
1
x 1 A + B + C =0 (5.37)
− 2x 2 +3x 3 +
sen(t)
x =
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
′
3
2
2
(5.38)
2
4A + B − C =2
t
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T . (5.39)
3A − 6B − 2C =4
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ 135
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May andez, Dr. L. de la Cruz May