Page 134 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte V: Transformada de Laplace Parte V: Transformada de Laplace

Tabla 5.2: Transformadas inversas de Laplace de algunas funciones elementales
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
4.2.2.
Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0
tales que |f(t)|≤ Me para t>T.
ct
can´ onica No. L −1 {F(s)} f(t)
´

1
1
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar
1
−1
, s> 0
L
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
s

la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
1
−1
2
L
2 , s> 0
t
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
s

Laplace; por ejemplo, 3 L −1 s n+1 , s> 0 t n
n!
posible.
4 L −1 1 , s> a e at
Ejemplo 4.2 L {f(t)} = F(s), L {g(t)} = G(s), L {y(t)} = Y (s)
s−a

5 L −1 ω 2 , s> 0 sen(ωt)
2
s +ω

Reducir el siguiente sistema: 6 L −1 s 2 , s> 0 cos(ωt)
Ejemplo 5.1 s +ω
2

7 L −1 s −ω 2 , s> |ω| senh(ωt)
ω
t
2
2
2
Evaluar L {1}. 8 (D − D + 5)x +2D y = e (4.7)

s
−1
cosh(ωt)
L
2 , s> |ω|
2
s −ω
2
Soluci´ on: −2x +(D + 2)y =3t 2 (4.8)

b −st b
a la forma normal. vez identificada la forma de la posible f(t), se realizan las manipulaciones algebraicas
N´ otese que una ∞ −st −st −e
L {1} = e (1)dt = l´ım e (1)dt = l´ım
para obtener la forma exacta de
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema transformada inversa de Laplace. b→∞ s 0
0 la
b→∞
0
−e −sb + e −s·0
= l´ım D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
2
2
t
b→∞ s
Ejemplo 5.24 1 D y =3t +2x − 2y (4.10)
2
2
= , ∀s> 0
s

15
Calcular L −1 {F(s)} = L −1 s +4s+13 .
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
2
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e −sb → 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
Soluci´ on: En este caso, no es posible asociar F(s) directamente a una forma similar de transformada
diverge.
inversa de la Tabla 5.2. Sin embargo, el polinomio del denominador puede rescribirse a una forma de
2
t
2
2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
denominador de las funciones seno y coseno. Esto es: 2
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que ∞ (4.11)
2
t
2
0
15
b
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo, 15 = L −1 15
−1
−1
L
0 L
=
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como: 2
2
s +4s + 13
2
2
(s +4s +4)+ 9
(s + 2) +3

−st b
∞ −st −e 1
L {1} =
Por el teorema de traslaci´ on s = s +2 e t dt = 2 s = , ∀s> 0
Du = e − 6t − 9x +4y + u
s
0 0
Dv =3t +2x − 2y
15 −sb 2 15

en donde se entiende que el l´ ımite superior e −1 → 0 cuando b →∞ para s> 0.
−1
L
= L

2
2
s +4s + 13
s +3
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal 2 s=s+2
Ejemplo 5.2

= e −2t L −1 5 · 3 =5e −2t L −1 3
2
2
Evaluar L {t}. Dx = u s +3 2 s +3 2
−2t
=5e
Soluci´ on: Dy = v sen(3t)

∞
−st
L {t} =
e
tdt
t
2
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0
2
Dv =3t +2x − 2
1 −st
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e −st dt y v = − e
Ejemplo 5.25 s

−st ∞ −st −st ∞
∞ te 1 ∞ te e
Calcular L {t} = e −st tdt = − + e −st dt = − − 2
0 s 0 s 0 3s +5 s s 0

−1
−s·∞ −1
L
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados e −s·∞ 0 · e −s·0 e −s·0
∞· e= L
{F(s)}
2
s +7
=
−
s − s 2 − − s − s 2
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
Soluci´ on: El denominador de F(s) tiene un polinomio que puede asociarse al denominador que se ob-
1
,
=
7 . A continuaci´ on
tiene en las transformas de las funciones s 2 seno ∀s> 0 . 2 2 2 2 √ 2
la forma normal son degenerados o degradados y coseno: s + ω = s +7 = s +
134 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May