Page 133 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace
donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:elementales
Tabla 5.2: Transformadas inversas de Laplace de algunas funciones
′
′
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-
n
d y No. a 0 L −1 a n−1 (n−1)
f(t)
a 1{F(s)}
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
′
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on y − y − . .. − y + f(t) (4.4)
dt n 1 a n −1 a n 1 , s> 0 a n 1

se dice que es lineal si se verifica L
s
2
y se hacen los cambios de variables L −1 s 1 2 , s> 0 t

3
−1
n!
n
L
n+1 , s> 0
t
T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] (5.3)
s
(n−1)
′
y = x 1 , L y = x 2 , , s> a y at = x n (4.5)
. ..,
4
−1
1
e
s−a
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la

ω
5
−1
sen(ωt)
L
2 , s> 0
2
s +ω
se observa que
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es

6 L −1 2 s 2 , s> 0 cos(ωt)
s +ω
igual a la combinacion lineal de las transformadas.

′′ 7
ω
−1
′L
′
. ..,
y
′
= x
y = x = x 2 , y = x = x 3 , s −ω 2 , s> |ω| (n−1) senh(ωt) = x n , y (n) = x ′
2
′
1 2 n−1 n
8 L −1 s cosh(ωt)
2
s −ω 2 , s> |ω|
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales
5.3. Transformaciones
= x 2 (t), se realizan las manipulaciones algebraicas
x
′
N´ otese que una vez identificada la forma de la posible f
1
′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
Las transformaciones integrales constituyen
para obtener la forma exacta de la transformada x inversa de Laplace.
= x 3
2
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
.
.
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
′
Ejemplo 5.24 x n−1 = x n
transformacion integral general viene dada por
y en consecuencia
Calcular L −1 {F(s)} = L −1 2 15 a 0 . b a 1 a n−1
′s +4s+13
(4.6)
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
x = − (t)] = x 2 − . .. − x n + f(t) (5.4)
n T[f
Soluci´ on: En este caso, no es posible a n asociar F(s) directamente a una forma similar de transformada
a n
a n
a
inversa de la Tabla 5.2. Sin embargo, el polinomio del
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal. denominador puede rescribirse a una forma de
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
denominador de las funciones seno y coseno. Esto es:
temente de la −st , se obtiene el
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace. 15

15
15
−1
−1
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden = L −1
L
= L
s +4s + 13 (s +4s +4)+ 9 (s + 2) +3 2
2
2
2
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
′′
′
′′
Por el teorema de traslaci´ on s = s +2 2y − 6y +4y − y = sen(t)
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
a la forma normal. 15 = L −1 15
−1
L
2
2
s +4s + 13
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on s +3 2 s=s+2

Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
5 · 3
3
= e y −2t L −1 =5e −2t L −1
2
2
′′ +3
define como y = − 2y +3y + 1 2 sen(t) s +3 2
s
′′
′
−2t 2 b
2 ∞
=5e sen(3t)
L {f(t)} = F(s)= e −st f(t)dt = l´ım e −st f(t)dt. (5.5)
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
′′ b→∞
′
0
0
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
′′
y = x = x 2 ,
de s; de otra manera se dice que no ′ 1 existe. y = x = x 3 , y = x ′ 3
′
′
′′′
Ejemplo 5.25
2
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Calcular
5.4.1. Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}

3s +5
L −1 {F(s)} = L −1 1
x 1
2
− 2x 2 +3x 3 + s +7
x =
sen(t)
′
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
3
2
2
2
Soluci´ on: El denominador de F(s) tiene un polinomio que puede asociarse al denominador que se ob-
t
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
√ 2
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .7 . A continuaci´ on
2
2
2
2
tiene en las transformas de las funciones seno y coseno: s + ω = s +7 = s +
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 133