Page 132 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
P Parte V: Transformada de Laplacearte V: Transformada de Laplace

y 4.2.2. Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0adem´ as f(t +2a)= f(t). Por tanto T =2a
tales que |f(t)|≤ Me para t>T.
ct
can´ onica 1 a 2a
L {f(t)} = e −st (1)dt + e −st (0)dt
−2as
1 − e
´
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar
a
0
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
a

a

−st

e
1
1

la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
−st
=
e
dt =
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre

−
−2s
−2s
Laplace; por ejemplo, 1 − e 1 0 e −as e 0 1 − e 1 s 1 0 e −as
posible.

= − −2s − = −2s −
s
s
1 − e
Ejemplo 4.2 L {f(t)} = F(s), L {g(t)} = G(s), 1 − e s s
L {y(t)} = Y (s)
1 − e −as
=
Reducir el siguiente sistema: s(1 − e −2s )
Ejemplo 5.1
2
2
Evaluar L {1}. (D − D + 5)x +2D y = e t (4.7)
2
Soluci´ on: −2x +(D + 2)y =3t 2 (4.8)
5.15. Definici´ on de Transformada Inversa de Laplace y sus propie-
−st b

b

a la forma normal.
−e
∞

L {1} = e −st (1)dt = l´ım e −st (1)dt = l´ım
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema b→∞ 0 b→∞ s 0
0
dades −e −sb + e −s·0
= l´ım D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
2
2
t
s
b→∞
Definici´ on 5.8 Si se tiene una funci´ on F(s) y se desea encontrar la funci´ on f(t) que corresponde a la
1
2
2
(4.10)
D y =3t +2x − 2y
transformada, se escribe = s , ∀s> 0
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9) −1 {F(s)} (5.35)
f(t)= L
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e −sb → 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
esto es, f(t) es la Transformada Inversa de Laplace de F(s).
diverge.
2
t
2
2
2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
5.15.1. Linealidad de L −1 D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que
2
2
t
(4.11)
∞
0
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo,
b
Definici´ on 5.9 Se Supone que la transformada inversa de Laplace es una transformacion lineal, esto es,
0
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
para constantes α y β, se tiene ∞ −e −st b 1

t dt =
L {1} = e −st 2 s = , ∀s> 0
Du = e − 6t − 9x +4y + u
s
0
0
L −1 {αF(s)+ βG(s)} = αL −1 {F(s)} + βL −1 {G(s)} (5.36)
2
Dv =3t +2x − 2y
en donde se entiende que el l´ ımite superior e −sb → 0 cuando b →∞ para s> 0.
donde F(s) y G(s) son las transformadas de ciertas funciones f(t) y g(t) respectivamente.
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Ejemplo 5.2
Evaluar L {t}. alculo de transformadas inversas de Laplace empleando tablas
5.15.2. C´ Dx = u
Soluci´ on: Dy = v
A continuaci´ on se ilustran algunos ejemplos donde se eval´ uan transformadas inversas de Laplace.

∞
−st
e
L {t} =
tdt
2
t
Du = e − 6t − 9x +4y + u
Ejemplo 5.23 2 0
Dv =3t +2x − 2
1 −st
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e −st dt y v = − e
s
5 .
1
Calcular L −1 {F(s)} = L −1

∞ s te −st ∞ 1 ∞ te −st e −st ∞

Soluci´ on: En primer e −st tdt = −F s + s e −st dt = − s − s 2
L {t} = lugar se identifica si (s) se encuentra en una forma similar a alguna de las transfor-
0
0
0
madas inversas de la Tabla 5.2. Para este ∞· e −s·∞ 0 e −s·∞ 0 · e −s·0 e −s·0
caso, F(s) resulta de una transformada de una funci´ on f(t)= t
Sistemas degenerados o degradados
4.2.3.
elevada a una potencia n =4: = − − − − −
s s 2 s s 2
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en

1
4!
1
1
1
1
4
−1
−1
, =
L
=
la forma normal son degenerados o degradados L ∀s> 0 . 4+1 = 4! t = 24 t 4
5
2
s
s
s
4!
132 Dr
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May