Page 131 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
y adem´ as f(t + 2) = f(t). Por tanto T =2
′
′
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-
n
d y a 0 1 a 1 1 a n−1 (n−1)

2
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
′
+ f(t)
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on y − y − . .. − (t)dt + y e −st (0)dt (4.4)
−st
e
L {f(t)} =
n
dt
1 − e
a n
se dice que es lineal si se verifica a n −2s 0 a n 1
y se hacen los cambios de variables 1 1 e −st tdt
=
1 − e
−2s
T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] (5.3)
0
′
y = x 1 , y = x 2 , . .., y (n−1) = x n (4.5)
Integrando por partes
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la
−st
u = t
dt
dv = e
se observa que
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es
−st
du = dt
igual a la combinacion lineal de las transformadas. v = − e s
y = x = x 2 , y = x = x 3 , . .., y (n−1) = x ′ = x n , y (n) = x ′
′
′
′
′′
1 2 n−1 n

5.3. Transformaciones 1 te −st 1 + 1 1 e −st dt

L {f(t)} =
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales
1 − e −2s − ′ s s
x 1 = x 2 0
0
Las transformaciones integrales constituyen x te ′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
1

−st
−st

e
1

= − 2 = x 3
−
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
−2s
1 − e
s
.
s
2

.
0

infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
−s
0
0
−s
1
e
e
e
0 · e
′
= x − = x n − − −
−
n−1
transformacion integral general viene dada por s s 2 s s 2
−2s
1 − e
y en consecuencia 1 1 e −s e −s
= a 0 −2s b − − a n−1
a 1 2
2
(4.6)
s
1 − e
′
x = − (t)] = s x 2 − . .. −s x n + f(t) (5.4)
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
n T[f
a n a n a n
a
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
temente de la −st , se obtiene el
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
Ejemplo 5.22
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
Hallar L {f(t)} de la funci´ on peri´ odica mostrada en la figura 5.8.
′′la funci´ on puede definirse por
Soluci´ on: En el intervalo 0 ≤ t< 2a
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
′
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′′

yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
a la forma normal. f(t)= 1, 0 ≤ t <a;
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on 0,a ≤ t< 2a.
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
define como y = y − 2y +3y + 1 sen(t)
′′
′
′′
2 b
2 ∞
L {f(t)} = F(s)= e −st f(t)dt = l´ım e −st f(t)dt. (5.5)
f(t)
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
′′ b→∞
′
0
0

Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
1
de s; de otra manera se dice que no ′ 1 existe. y = x = x 3 , y = x ′ 3
y = x = x 2 ,
′′
′
′
′′′
2
·· ··· ·
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
5.4.1. Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}
1
x 1
′ a
2a
5a
3a
4a
− 2x 2 +3x 3 +
x =
sen(t)
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
t
3
2
2
2
t
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
Figura 5.8: Funci´ on peri´ odica f(t)=1 para 0 ≤ t<a y f(t) =0 para a ≤ t< 2a. [Elaboraci´ on propia].
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 131
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May