Page 130 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte V: Transformada de LaplaceParte V: Transformada de Laplace

4.2.2.
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
Transformada de una funci´ on peri´ odica
5.14.
Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0
tales que |f(t)|≤ Me para t>T.
ct
can´ onica
Teorema 5.6 Sea f(t) continua parte por parte para t ≥ 0 y de orden exponencial. Si f(t) es peri´ odica
´
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
de periodo T entonces
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de

T
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
1
Laplace; por ejemplo, L {f(t)} = 1 − e −sT 0 e −st f(t)dt (5.32)
posible.
Demostraci´ on: Si f(t) es peri´ odica L {g(t)} = G(s), L {y(t)} = Y (s)
Ejemplo 4.2
L {f(t)} = F(s),
∞ T ∞
Reducir el siguiente sistema: e −st f(t)dt = e −st f(t)dt + e −st f(t)dt (5.33)
L {f(t)} =
Ejemplo 5.1
0 0 T
t
2
(4.7)
2
(D − D + 5)x +2D y = e
Si en la segunda
Evaluar L {1}. integral, se hace t = u+T entonces t = T con u =0 y cuando t = ∞ u = ∞y du = dt.
2
Por lo tanto
Soluci´ on: −2x +(D + 2)y =3t 2 (4.8)

∞ ∞ ∞
e −st f(t)dt ∞ = e −s(u+T) f (u + T)du = e −su f(u)du (5.34)

b
a la forma normal. −e −st b

T
0
L {1} = e −st 0 (1)dt = l´ım e −st (1)dt = l´ım
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema peri´ odica). b→∞ 0 b→∞ s 0
dado que f(u)= f(u + T) (por
0 ser
Sustituyendo (5.34) en (5.33) l´ım −e −sb + e −s·0 t
=
2
2
s
b→∞ D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
T
1 D y =3t +2x − 2y −sT (4.10)
2
2
−st
,
= L {f(t)} = e f(t)dt + e L {f(t)}
∀s> 0
s 0
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9) T −st
−sT
)=
−sb (t)dt
L {f(t)}(1 − e
e
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e f → 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
0
diverge. 1 T
−st
L {f
2 (t)} =
f(t)dt
e
2
t
2
2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
−sT
1 − e
0
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que ∞ (4.11)
2
2
t
0
Ejemplo 5.21
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo,
b
0
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
−e figura 5.7.
Hallar L {f(t)} de la funci´ on peri´ odica mostrada en la −st b 1

∞

L {1} = e −st 2 = , ∀s> 0
t dt =
Du = e − 6t − 9x +4y + u
Soluci´ on: En el intervalo 0 ≤ t< 2 la funci´ on puede sdefinirse por
s

0
0
Dv =3t +2x − 2y
2
t, 0 ≤ t< 1;
en donde se entiende que el l´ ımite superior e −sb → 0 cuando b →∞ para s> 0.
f(t)=
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal ≤ t< 2.
0, 1
Ejemplo 5.2
Evaluar L {t}. Dx = u
Soluci´ on: Dy = v
f(t) t 2 ∞ −st
tdt
L {t} =
e
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0
2
1 Dv =3t +2x − 2 1 −st

que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e −st dt y v = − e
s

−st ∞ ∞ −st −st ∞
∞ te 1 te e

·· ··· ·
L {t} = e −st tdt = − + e −st dt = − − 2

0 s 0 s 0 s s 0
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados4 e −s·∞ 0 · e −s·0 e −s·0
∞· e
−s·∞
5
1
2
3
=
−
s − s 2 − − s t − s 2
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
1
, para 0 ≤ t< 1 y f(t)=0 para 1 ≤ t< 2 [Elaboraci´ on propia].
Figura 5.7: Funci´ on peri´ odica f(t)= t
=
la forma normal son degenerados o degradados ∀s> 0 .
s
2
130 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May