Page 129 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Al aplicar el l´ ımite de a →∞ se tiene
donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
′
′
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-

−sa
sa
e − e
n
d y
a 0 − t 0 )} = e
l´ım L {δ a (t a 1 −st 0 l´ım
a n−1 (n−1)
′
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on y − y − . .. − a→0 y 2as + f(t) (4.4)
a→0
dt n a n a n a n
se dice que es lineal si se verifica
Dado que al evaluar el l´ ımite ocurre una forma indeterminada de 0/0, se hace uso de la regla de L´Hopital
y se hacen los cambios de variables

d sa −sa sa −sa
)
(e − e
T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] se + se (5.3)
l´ım L {δ a (t − t 0 )} = L H e −st 0 l´ım da = e −st 0 l´ım
′
′
. ..,
a→0
a→0
a→0 y = x 1 , y = x 2 , d (2as) y (n−1) = x n 2s (4.5)
da
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la

−sa
−sa
sa
sa
se
e + e
e + e
−st 0
= e
=
−st 0
l´ım
l´ım
se observa que
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es
s
2
2
a→0
a→0

s·0
e
igual a la combinacion lineal de las transformadas. + e −s·0 1+1
′e
′′ =
−st 0
(n−1)
y
y = x = x 2 , y = x = x 3 , . .., = e −st 0 = x ′ = x n , y (n) = x ′
′
′
1 2 2 n−1 2 n
=
l´ım L {δ a (t − t 0 )}
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales
5.3. Transformaciones e −st 0
a→0
y cuando t 0 =0 x ′
1 = x 2
′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
Las transformaciones integrales constituyen (t)} = e −s·0 =1
x
L {δ a
= x 3
2
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
.
.
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
n−1 on rampa unitaria
5.13. Transformada de la funci´ = x n
x
′
transformacion integral general viene dada por
y en consecuencia
Definici´ on 5.7 La funci´ on a 0 b a 1 a n−1
(4.6)
′
x = − (t)] = x 2 − . .. − x n + f(t) (5.4)
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
n T[f

a n
0, a n 0 ≤ at <a; a n
r(t)= (5.31)
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
t − a, t ≥ a.
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
t a t
temente de la = u(τ − a)dτ = (0)dτ + dτ = τ| = t − a −st , se obtiene el
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
t
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace. a
a
0
0
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
se denomina rampa unitaria.
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
Su transformada de Laplace
′
′′
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′′
a
∞ −st −st ∞ −st
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
L {r(t)} =
a la forma normal. e r(t)dt = e (0)dt + e (t − a)dt
0 0 a
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on
aplicando integraci´ on por partes
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
u = t − a dv = e −st 1 dt
y
define como y = − 2y +3y + −st
′′
sen(t)
′′
′
du = v = − e 2 s b
2 ∞ dt

L {f(t)} = F(s)= e −st f(t)dt = l´ım e −st f(t)dt. (5.5)
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que

′′ b→∞
0
′
−st
0 ∞
1
∞
e

−st
dt
+
L {r(t)} = − (t − a)
e
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor

s
s

a
′′′
′
′′
de s; de otra manera se dice que no ′ 1 existe. e a y = x = x 3 , y = x ′ 3
′
−st ∞
y = x = x 2 , −st ∞
e
2
= − (t − a) −
s s 2
a
a
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica

−sa
−sa
e
e
e
5.4.1. Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)} e
−s·∞
−s·∞
− (a − a)
= − (∞− a)
s s − s 2 − s 2
x 1 1
− 2x 2 +3x 3 +
sen(t)
x =
′
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
−as
e
3
= 2 2
2
t
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
s
2
2 .
1
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .
Obs´ erve que si a =0, entonces L {r(t)} = L {t} =
s
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 129