Page 128 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte V: Transformada de LaplaceParte V: Transformada de Laplace

Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
4.2.2.
Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0
tales que |f(t)|≤ Me para t>T.
ct
can´ onica δ a (t − t 0 )

´
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
1
2a
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
Laplace; por ejemplo,
posible.

Ejemplo 4.2 L {f(t)} = F(s), L {g(t)} = G(s), L {y(t)} = Y (s)
t 0
Reducir el siguiente sistema: t
Ejemplo 5.1
2 de la se˜ nal impulso δ a (t − t 0 ) [Elaboraci´ on propia].
Figura 5.6: Propiedades 2 t
Evaluar L {1}. (D − D + 5)x +2D y = e (4.7)
2
Soluci´ on: −2x +(D + 2)y =3t 2 (4.8)
6
de Dirac que esta definida por

b

a la forma normal. ∞ −st (t − t 0 ) = l´ım δ a (t − t 0 ) −e −st b (5.30)

L {1} = e δ a (1)dt = l´ım e −st (1)dt = l´ım
a→∞
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema b→∞ 0 b→∞ s 0
0
−sb funci´ on, puede caracterizarse mediante las siguientes propie-
esta expresi´ on que, en realidad no es una + e −s·0
−e
l´ım
2
t
2
dades (ver figura 5.6): = b→∞ D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
s
1 2 2
D y =3t +2x − 2y (4.10)
=
∞,t = t 0 ; , ∀s> 0
i) δ a (t − t 0 )= s
t ̸= t 0 .
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
0,
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e −sb → 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral

ii)
∞
diverge. δ a (t − t 0 )dt =1
0
2
2
2
t
2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que ∞ (4.11)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
2
t
2
0
Transformada de la funci´ on delta
5.12.3.
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo,de Dirac
b
0
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Se parte de la suposici´ on ∞ −e −st b 1

L {1} = e −st 2 = , ∀s> 0
t dt =
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0 s 0 s
2
Dv =3t +2x − 2y
L {δ a (t − t 0 )} = l´ım L {δ a (t − t 0 )}
a→0
en donde se entiende que el l´ ımite superior e −sb → 0 cuando b →∞ para s> 0.

∞
−st
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
e
δ a (t − t 0 )dt
=
Ejemplo 5.2
0
t 0 −a t 0 +a 1 ∞

Evaluar L {t}. = Dx = u e −st dt + e −st δ a (0)dt
−st
(0)dt +
e
Soluci´ on: 0 Dy = v t 0 −a 2a t 0 +a

1 e −st t 0 +a ∞
−st
e
tdt
L {t} =
= Du = e − 6t − 9x +4y + u
2
t
−
2a s
t 0 −a 0
2
Dv =3t +2x − 2
1 −st
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e −st dt y v = − e

1
−s(t 0 +a)
−s(t 0 −a)
= − e − e s
2as

−st ∞ −st −st ∞
∞ 1 te 1 ∞ te e
−st
e
L {t} = e = − −st 0 −sa + − e −st 0 sa −st dt = − − 2
e
tdt = − e
e

0 2as s 0 s 0 s s 0
e

∞· e
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados e −s·∞ 0 · e −s·0 e −s·0
−st 0

−s·∞
sa
−sa
e − e
=
=
2as − s − s 2 − − s − s 2
6 Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
1 el f´ ısico brit´ anico Paul A. M. Dirac quien la us´ o en su obra Principios de
La funci´ on delta de Dirac fue creada por
= , ∀s> 0 .
la forma normal son degenerados o degradados N´ obel junto con Schr¨ odinger en 1933.
Mec´ anica Cu´ antica en 1932. M´ as tarde ganar´ ıa s 2 el Premio
128 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May