Page 127 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
′
′
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-
f(t)
n
d y
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
′
y
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on a 0 y − a 1 y − . .. − a n−1 (n−1) + f(t) (4.4)
n
dt a n a n a n
se dice que es lineal si se verifica
+2
y se hacen los cambios de variables

T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] t (5.3)
1 2 3 4 5
y = x 1 , y = x 2 , . .., y (n−1) = x n (4.5)
′

−2
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la
se observa que
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es
igual a la combinacion lineal de las transformadas.
′ Figura 5.4: Gr´ afica del ejemplo f(t) =2 − 4u(t − 3) [Elaboraci´ on propia].
′
′
y = x = x 2 , y = x = x 3 , . .., y (n−1) = x ′ = x n , y (n) = x ′
′′
1 2 n−1 n
5.3. Transformaciones
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales
δ a (t − t 0 ) x ′ = x 2

Las transformaciones integrales constituyen x 1 ′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
1 2 = x 3
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
.
2a
.
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
x ′ = x n
transformacion integral general viene dada por n−1
y en consecuencia
b
a 0 t 0 − a a 1t 0 t 0 + a a n−1
(4.6)
′
n T[f
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
x = − (t)] = x 2 − . .. − x n + f(t) t (5.4)

a n a n 2a a n
a
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
Figura 5.5: Gr´ afica de la se˜ nal impulso δ a (t − t 0 ) [Elaboraci´ on propia].
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
temente de la −st , se obtiene el
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
La transformada de la funci´ on Delta de Dirac
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.
5.12.
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
5.12.1. Funci´ on pulso unitario ′′ ′′ ′
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
2y − 6y +4y − y = sen(t)
Definici´ on 5.5 La funci´ on definida por
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on  0 ≤ t ≤ t 0 − a,
 0,
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se

δ a (t − t 0 )= 1 ,t 0 − a< t< t 0 + a; (5.29)
define como ′′ y 2a ′ ′′ 1

y =  − 2y +3y + sen(t)
2 ∞ 0, t ≥ t 0 + a. b
2

L {f(t)} = F(s)= e −st f(t)dt = l´ım e −st f(t)dt. (5.5)
tiene la propiedad  ∞ δ a (t − t 0 )dt =1, de 0 tal forma que a la funci´ on δ a (t − t 0 ) se le conoce como
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
′′ b→∞
′
0
0
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
impulso unitario (figura 5.5) .
5
′′′
′
′′
′
′
y = x = x 2 ,
de s; de otra manera se dice que no 1 existe. y = x = x 3 , y = x ′ 3
2
5.12.2. La funci´ on Delta de Dirac
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
5.4.1. Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}
Definici´ on 5.6 funci´ on delta de Dirac
x 1 1
En la pr´ actica es conveniente trabajar 3 con δ a (t − t 0 ) de manera aproximada mediante la funci´ on delta
sen(t)
x =
− 2x 2 +3x 3 +
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
′
2
2
2
t
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
5
El impulso unitario puede servir de modelo matem´ atico para una fuerza externa (o un voltaje aplicado en alg´ un circuito
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .
el´ ectrico) de gran magnitud que act´ ua en un tiempo muy corto en alg´ un sistema mec´ anico.
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 127
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May