Page 126 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplacearte V: Transformada de Laplace
P Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0on:
Demostraci´
4.2.2.
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
∞
tales que |f(t)|≤ Me para t>T. −st
ct
can´ onica
L {f(t − a)u(t − a)} = e f(t − a)u(t − a)dt
0
´
a

NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar

∞
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
−st
−st
f(t − a)u(t − a)dt +
e
e
f(t − a)u(t − a)dt
=
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
0
a
dado que
Laplace; por ejemplo,
posible.
0, 0 ≤ t <a;
f(t − a)u(t − a)=
Ejemplo 4.2 L {f(t)} = F(s), L {g(t)} = G(s), L {y(t)} = Y (s)
f(t),t ≥ a.
la primer integral es cero, por lo tanto
Reducir el siguiente sistema:
Ejemplo 5.1 ∞
L {f(t − a)u(t − a)} = 2 e −st f(t − a)dt.
t
2
Evaluar L {1}. (D − D + 5)x +2D y = e (4.7)
a
Ahora se emplea un cambio de variables. Sea v = 2 t − a, dv = dt y en consecuencia se deben cambiar
2
Soluci´ on: −2x +(D + 2)y =3t (4.8)
los limites de integraci´ on: cuando t = a → v =0 y cuando t = ∞→ v = ∞. Ademas t = v + a, de

a la forma normal.
modo que: L {1} = ∞ e −st (1)dt = l´ım b e −st (1)dt = l´ım −e −st b

Soluci´ on: Reescribiendo el sistema ∞ b→∞ 0 ∞ b→∞ s 0
0
L {f(t − a)u(t − a)} = + e −s·0 e −s(v+a) f(v)dv = e −sv −as f(v)dv
e
−sb
−e
= l´ım D x +2D y = e − 5x + Dx 0 (4.9)
2 0
t
2
b→∞ s −as ∞ −sv
1 = e 2 e 2 f(v)dv (4.10)
D y =3t +2x − 2y
= , ∀s> 0 0
s = e −as L {f(v)}
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e −sb → 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
F(s).
−as
Por lo tanto, L {f(t − a)u(t − a)} = e
diverge.
Ejemplo 5.19
2
2
2
2
t
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
Evaluar L {u(t − 8)}. D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que
2
t
(4.11)
2
∞
0
Soluci´ on: Se identifica r´ apidamente que f(t)=1 y
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo, 1 · u(t − 8) = u(t − 8). Por lo tanto,
b
0
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
−8s

−8s −st b e
∞
L {u(t − 8)} = e −e L {1} = 1

t dt =
L {1} = e −st 2 = , ∀s> 0
s
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0 s 0 s
2
Dv =3t +2x − 2y
en donde se entiende que el l´ ımite superior e −sb → 0 cuando b →∞ para s> 0.
Ejemplo 5.20
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Ejemplo 5.2
Escriba la funci´ on dada en t´ erminos de funciones escal´ on unitarias, encuentre L {f(t)}.
Evaluar L {t}. Dx = u
2, 0 ≤ t< 3;
Soluci´ on: Dy = v
f(t)=

−2,t ≥ 3.
∞
−st
e
tdt
L {t} =
t
2
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0
Dv =3t +2x − 2f(t) como f(t) =2 − 4u(t − 3). Por lo tanto,
2
Soluci´ on: De la figura 5.4 se puede escribir la funci´ on
1 −st
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e −st dt y v = − e
s
L ∞ {f(t)} = L {2 − 4u(t − 3)} =2L {1}− 4L {u(t − 3)} ∞

−st
−st ∞
−st
e
1
te
te
∞
L {t} = e −st tdt = − + e 1 dt = − − 2
−st
s
0 s 0 s 0 =2 − 4e −3s L {1} s 0
−s·∞ s −s·0 −s·0
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados e −3s 0 · e e
∞· e
−s·∞
=
−
2 4e
−
s = 2 s − − − s − s 2
s
s
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
1
=
,
la forma normal son degenerados o degradados ∀s> 0 .
2
s
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
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